Проективное преобразование
- Проективное преобразование
-
взаимно однозначное отображение проективной плоскости (См.
Проективная плоскость) или проективного пространства (См.
Проективное пространство) в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому П. п. иногда называется коллинеацией). П. п. проективной прямой называется взаимно однозначное отображение её в себя, при котором сохраняется
Гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером П. п. является
Гомология — П. п., оставляющее на месте прямую и точку вне её. Примером П. п. пространства является перспектива, т. е. проектирование фигуры
F, лежащей в плоскости
П, из точки
S в фигуру
F', расположенную в плоскости
П', любое П. п. получается конечной последовательностью перспектив. П. п. образуют группу (См.
Группа), основным инвариантом которой является
Двойное отношение четырёх точек прямой. Теории инвариантов групп П. п., оставляющих на месте некоторую фигуру, представляют собой метрические геометрии (см.
Проективная метрика).
Основная теорема о П. п. проективной плоскости состоит в том, что каковы бы ни были четыре точки А, В, С, D плоскости П, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки A', B', C', D' той же плоскости, из которых никакие три также не лежат на одной прямой, существует и притом только одно П. п., которое точки А, В, С, D переводит соответственно в точки A', B', C', D'. Эта теорема применяется в номографии и аэрофотосъёмке. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: там П. п. определяется пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Эта теорема эквивалентна аксиоме Паппа.
В однородных координатах П. п. выражается однородным линейным преобразованием (См.
Линейное преобразование), определитель матрицы которого не равен нулю. Рассматриваются также П. п. евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями (См.
Дробно-линейная функция), причём свойство взаимной однозначности утрачивается.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
1969—1978.
Полезное
Смотреть что такое "Проективное преобразование" в других словарях:
Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямые. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Инволюция … Википедия
ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — взаимно однозначное отображение F .проективного пространства ПД на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного (по включению) множества всех подпространств П n, т. е. отображение П n в себя такое, что 1) если , то ; 2) для каждого … Математическая энциклопедия
ПРОЕКТИВНОЕ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЕ — введение в подмножествах проективного пространства методами проективной геометрии такой метрики, при к рой эти подмножества оказываются изоморфными евклидову, гиперболическому или эллиптическому пространствам. Это достигается выделением из класса … Математическая энциклопедия
Преобразование — одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия
ПРОЕКТИВНОЕ ИЗГИБАНИЕ — распространение на проективную геометрию понятия изгибания (наложения) в метрич. теории поверхностен, дано Г. Фубини (G. Fubini, 1910) (обобщение этого понятия на геометрию любой группы преобразований получил Э. Картав, Е. Cartmi, 1920) с… … Математическая энциклопедия
Видовое преобразование — Связать? … Википедия
МОНОИДАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — раздутие, s процесс, специального вида бирациональный морфизм алгебраич. многообразий или биме роморфный морфизм аналитич. ространств. Пусть, напр., X алгебраич. многообразие (или произвольная схема), а замкнутое подмногообразие, задаваемое… … Математическая энциклопедия
КОЛЛИНЕАЦИЯ — проективное преобразование проективного пространства ПД, представимое в виде произведения конечного числа перспектив; если v есть К., то для любого подпространства Sq существует такое произведение p не более чем q 1 перспектив, что v(Sp)=p(Sp… … Математическая энциклопедия
ПОЛЯРИТЕТ — полярное преобразование, корреляцияp, для к рой p2=id, то есть p(Y) =Xтогда и только тогда, когда p(X)=Y. П. разбивает все подпространства на пары, в частности, если пара образована подпространствами S0 и Sn 1, где S0=n(Sn 1) точка, а Sn 1=p(S0)… … Математическая энциклопедия
ИНВОЛЮЦИЯ — 1) Эндоморфизм второго порядка, т. е. отображение объекта на себя, квадрат к рого является единичным морфизмом (см. также Категория с инволюцией). Иногда инволюцией наз. также периодическое отображение, т. е. морфпзм, нек рая ненулевая степень к… … Математическая энциклопедия
