БЕРНУЛЛИ ИСПЫТАНИЯ это:

БЕРНУЛЛИ ИСПЫТАНИЯ

независимые испытания с двумя исходами каждое ("успехом" и "неудачей") и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных схем, рассматриваемых в теории вероятностей.

Пусть р - вероятность успеха и - вероятность неудачи, и пусть 1 обозначает наступление успеха, а 0 - наступление неудачи. Тогда вероятность определенного чередования успехов и неудач, напр.,


равна


где - число успехов в рассматриваемом ряду писпытаний. Со схемой Б. и. связаны многие распространенные распределения вероятностей. Пусть - случайная величина, равная числу успехов в пБ. и. Тогда вероятность события равна


т. е. имеет биномиальное распределение. Последнее при аппроксимируется нормальным распределением или Пуассона распределением. Пусть - число испытаний до первого успеха. Тогда вероятность события равна т. е. имеет геометрическое распределение. Если - число неудач, предшествующих r-му появлению успеха, то имеет так наз. отрицательное биномиальное распределение. Число успехов в Б. и. можно представить в виде суммы независимых случайных величин, где равно 1, если испытание закончилось успехом, и равно 0 в противном случае. Поэтому многие важные закономерности теории вероятностей, относящиеся к суммам независимых случайных величин, были первоначально установлены для схемы Б. и. ( Бернулли теорема, больших чисел закон, больших чисел усиленный закон, повторного логарифма закон, Центральная предельная теорема и т. д. ). Строгое изучение бесконечных последовательностей Б. и. требует введения вероятностной меры, в пространстве бесконечных последовательностей нулей и единиц. Это можно сделать или непосредственно, или с помощью приема, к-рый иллюстрируется ниже случаем . Пусть - число, выбираемое наудачу на отрезке с равномерным распределением, и пусть


где или 1, есть разложение со в двоичную дробь. Тогда независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью каждое, т. е. чередование нулей и единиц в двоичном разложении w описывается схемой Б. и. с Однако меру на (0, 1) можно задать и так, чтобы получить Б. и. с любым р (при получается мера, сингулярная относительно меры Лебега).

Б. и. часто трактуют геометрически (см. Бернулли блуждание). Ряд вероятностей, связанных с Б. и., был вычислен на самой ранней ступени развития теории вероятностей в связи с задачей о разорении игроков.

Лит.:[1] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967; [3] Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.

А. В. Прохоров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БЕРНУЛЛИ ИСПЫТАНИЯ" в других словарях:

  • БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА — исторически первая форма больших чисел закона. Б. т. приведена в четвертой части книги Я. Бернулли (J. Bernoulli) Ars conjeсtandi ( Искусство предположений ). Эту часть можно считать первым серьезным трудом по теории вероятностей. Книга издана в… …   Математическая энциклопедия

  • БЕРНУЛЛИ АВТОМОРФИЗМ — автоморфизм пространства с мерой:, описывающий Бернулли испытания и их обобщение последовательность независимых испытаний, имеющих одни и те же исходы и одно и то же распределение вероятностей. Пусть А совокупность всевозможных исходов испытания …   Математическая энциклопедия

  • БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН — одна из форм больших чисел закона (вего общем понимании), утверждающая, что при определенных условиях с вероятностью единица происходит неограниченное сближение средних арифметических последовательности случайных величин с нек рыми постоянными… …   Математическая энциклопедия

  • БОРЕЛЯ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — исторически первый вариант больших чисел усиленного закона, сформулированный И доказанный Э. Борелем [1] применительно к схеме Бернулли (см. Бернулли испытания). Пусть независимые случайные величины одинаково распределены и принимают два значения …   Математическая энциклопедия

  • УРНОВАЯ СХЕМА — одна из простейших моделей теории вероятностей. Описание У. с. таково: рассматривается некий сосуд урна с шарами белого и черного цвета. Из урны наугад извлекается один шар. а затем он возвращается в урну вместе с сшарами того же цвета, что и… …   Математическая энциклопедия

  • Вероятностей теория —         математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким либо образом с первыми.          Утверждение о том, что какое либо событие наступает с Вероятностью,… …   Большая советская энциклопедия

  • ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Утверждение о том, что к. л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, еще не… …   Математическая энциклопедия

  • БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН — общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… …   Математическая энциклопедия

  • История воздухоплавания и авиации — (хроника событий и фактов) 1475 Леонардо да Винчи дал эскизы и описание геликоптера, парашюта и орнитоптера. 1670 Опубликован труд Ф. Лана, содержащий проект воздушного судна на аэростатическом принципе с шарообразными ёмкостями, из которых… …   Энциклопедия техники

  • Кулибин, Иван Петрович — механик Императорской Академии Наук, член Императорского Вольного экономического общества. Сын мещанина Нижнего Новгорода, род. в Нижнем Новгороде 10 апреля 1735 г., ум. там же 30 июля 1818 г. Кулибин предназначался отцом торговать мукой, но он с …   Большая биографическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»