ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

алгебры с инволюцией * - элемент х *- алгебры А, допускающий представление х=у*у, где . Множество Р(А) П. <э. банаховой * - алгебры Асодержит множество Q(А).квадратов эрмитовых элементов, содержащее, в свою очередь, множество P₀(A)⁺ всех эрмитовых элементов с положительным спектром, но, вообще говоря, не содержит множества А ⁺ всех эрмитовых элементов с неотрицательным спектром. Условием определяется класс вполне симметричных (или эрмитовых) банаховых * - алгебр; для того чтобы * - алгебра была вполне симметричной, необходимо и достаточно, чтобы все ее эрмитовы элементы имели действительный спектр. Равенство Р(А)=А ⁺ имеет место тогда и только тогда, когда Аесть С* - алгебра. В этом случае Р(А) - воспроизводящий конус в пространстве всех эрмитовых элементов алгебры А.

Лит.:[1] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [2] Диксмье Ж., С* - алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974; [3] Райков Д. А., "Докл. АН СССР", 1946, т. 54, М 5, с. 391-94; [4] Рtak V., "Bull. Lond. Math. Soc.", 1970, v. 2, p. 327-34; [5] Palmer I., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1972, v. 78, p. 522-24.

В. С. Шульман.