ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА МЕТОД

- дифференциально-геометрический метод локального исследования подмногообразий различных однородных пространств, исходным моментом к-poro является отнесение самого подмногообразия и всех его геометрич. объектов к возможно более общему (подвижному) реперу. П. р. м. включает в себя последующий процесс канонизации репера - инвариантного присоединения к каждой точке подмногообразия единственного репера с целью получения дифференциальных инвариантов, характеризующих подмногообразие с точностью до преобразований вмещающего его однородного пространства.

В наиболее общей форме П. р. м. был предложен Г). Картаном (Е. Cartan, см. |1]), давшим разнообразные образцы его применений. Позднее метод получил широкое распространение и развитие (см. Продолжений и охватов метод). Аналитич. основу П. р. м. составляют инвариантные линейные дифференциальные формы группы Ли и их структурные уравнения, а также теория представлений групп Ли как групп преобразований. В современной геометрии основные положения П. р. м. потребовали уточнений и получили оформление в терминах теории расслоенных пространств.

Пусть Х _п есть n-мерное однородное пространство и Gесть r-мерная группа Ли его преобразований (Gдействует слева). Пусть X_n=G/H - представление, где - группа изотропии (стационарности) нек-рой точки , k=1, 2, . . ., п,a=n+1, . . ., r,- базис левоинвариантных векторных полей на Gтакой, что на Н е_a составляют также базис левоинвариантных векторных полей подгруппы Ли H. Базису ( е _k, е_a).отвечает сопряженный базис левоинвариантных линейных дифференциальных форм (q^k, q^a) на группе Ли G. Канонич. проекция , сопоставляющая точкам левые классы смежности группы G по подгруппе Н=Н _x0 , вносит в группу Ли Gструктуру главного H-расслоения с базой Х _п и структурной группой Нразмерности r-п. При таком представлении Gвекторные поля е _a составляют базис фундаментальных векторных полей расслоения , а векторные ноля e_k натягивают некрое трансверсальное к слоям расслоения n-распределение. В соответствии с этим линейные дифференциальные формы q^k являются полубазовыми формами расслоения и образуют вполне интегрируемую подсистему форм в системе (q^k, q^a). Слои являются интегральными многообразиями максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа q^k=0.

Системой реперов в классической дифференциальной геометрии (евклидовой, аффинной, проективной и т. д.) наз. множество фигур пространства Х _п, находящееся в биективном соответствии с множеством преобразований пространства Х _n (или, что то же самое, с множеством элементов фундаментальной группы Gданного пространства), при этом любой репер Rиз данной системы можно получить из нек-рого начального R₀ с помощью только одного преобразования:

Учитывая, что главная роль подвижного репера L_g(R₀)=R_g. по отношению к неподвижному R₀ состоит в том, чтобы определять произвольное преобразование L_g однородного пространства Х _п, можно отождествить множество реперов {R_g} с множеством элементов группового пространства G, приобретающих таким образом смысл абстрактных реперов, обслуживающих любое однородное пространство с данной фундаментальной группой G.

Пусть задано нек-рое гладкое подмногообразие размерности т. Реперами нулевого порядка подмногообразия Мназ. элементы ограничения расслоения на М, как на новую базу. Это значит, что главное расслоение вложено в G и определяется в нем как полный прообраз . Так как ле-воинвариантные формы q^k, q^a на группе Ли G подчиняются уравнениям Маурера - Картава

(1)

где - структурные константы группы Ли, то ограничение форм q^k, q^a на подрас-слоение G(p, М), т. е. формы w^k, w^a, будет подчиняться таким же уравнениям, но, сверх того, среди форм w^k возникнут линейные зависимости

(2)

где w^a - формы, оставшиеся вместе с w^a линейно независимыми на главном расслоенном пространстве , а - функции, также определенные на расслоении реперов нулевого порядка Функции являются координатами касательной плоскости подмногообразия , зависящими от точки и репера

Касательные плоскости образуют сечение грассманова расслоения

m-плоскостей, проходящих через точки подмногообразия . Расслоение является присоединенным к главному расслоению Структура функций характеризуется уравнениями

(3)

явный вид к-рых можно получить внешним дифференцированием уравнений (2) с помощью (1) и последующим применением леммы Картана. Функций являются относительными координатами 1-струи сечения f по отношению к подвижному реперу точки . Геометрич. объект образует также сечение соответствующего расслоенного пространства , присоединенного к главному расслоению . Аналогичным образом возникает сечение с координатами образующего его геометрич. объекта, а также его последующие продолжения , к-рым соответствуют дифференциальные продолжения уравнений (3).

До тех пор пока расслоение , к-рому принадлежит сечение , является однородным, возможна редукция главного расслоения реперов к нек-рой подгруппе , определяемая по Картану с помощью нек-рой фиксации относительных координат геометрич. объекта , не зависящей от точки Так определяется частичная канонизация репера. Реперы наз. полуканоническими реперами порядка q+1 данного подмногообразия . Если же следующее продолжение дает геометрич. объекты, группа стационарности к-рых содержит лишь тождественное преобразование, то возможна фиксация лишь части координат геометрич. объекта сечения , не зависящая от точки х, после чего оставшаяся часть координат L геометрич. объекта зависит только от . Таким образом возникает сечение расслоения реперов нулевого порядка подмногообразия . Репер R=s(x).этого сечения наз. каноническим репером подмногообразия , или сопровождающим репером этого подмногообразия. Описанный выше процесс продолжения уравнений (3) и выбранный способ фиксации функций приводит к уравнениям

(4)

связывающим линейные формы w^k, w^a на сечении s(M). Поле канонич. репера строится не однозначно, а зависит от произвола фиксации относительных координат геометрич. объекта . Важно лишь то, что часть коэффициентов уравнения (4) имеет постоянные (при желании наиболее простые) числовые значения, тогда как другая часть их образует дифференциальные инварианты подмногообразия , определяющие его с точностью до преобразования в Х _п. Канонич. реперы сечения s(M).являются аналогом классич. примера - сопровождающего репера Френе кривой евклидова пространства, а уравнения (4) соответствуют уравнениям Френе кривой. На пути канонизации репера могут возникать осложнения, связанные с неоднородностью расслоений и разнотипностью в этом смысле различных подмногообразий Мв Х _п и даже их отдельных кусков. На этом и основывается классификация различных типов точек и различных классов подмногообразий в Х _n. Благодаря этим особенностям П. р. м. сыграл плодотворную роль в изучении подмногообразий в разнообразных однородных пространствах и, кроме того, указал путь к развитию современных методов исследования самых общих дифференциально-геометрич. структур на гладких многообразиях.

Лит.:[1] Картан Э., Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера, пер. с франц., М., 1963; [2] Фавар Ж., Курс локальной дифференциальной геометрии, пер. с франц., М., I960; [3] Картан А., Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, пер. с франц., М., 1971; [4] Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М.- Л., 1948. Е. Л. Евтушик.