- ПЛОСКИЙ МОРФИЗМ
- морфизм схем
такой, что для любой точки 
локальное кольцо 
является плоским над 
(см. Плоский модуль). Вообще, пусть 
- пучок 
-модулей, он наз. плоским над Yв точке 
, если 
- плоский модуль над кольцом 
. При нек-рых (довольно слабых) условиях конечности множество точек, в к-рых когерентный 
-модуль 
является плоским, открыто в X. Если при этом схема Yцелостна, то существует открытое непустое подмножество 
такое, что 
- П. м. над Yво всех точках, лежащих над U.
П. м. конечного типа соответствуют интуитивному понятию непрерывного семейства многообразий. П. м. открыт и равноразмерен (т. е. размерность слоев f-1 (у) локально постоянна по
). Для многих гео-метрич. свойств множество точек 
, в к-рых слой f-1(f(x)).плоского морфизма 
обладает этим свойством, открыто в X. Если П. м. f собственный, то открытым является и множество точек 
, слои над к-рыми обладают этим свойством (см. [1]).
П. м. применяются также в теории спуска. Морфизм схем наз. строго плоским, если он плоский и сюръективный. Тогда, как правило, для проверки какого-либо свойства нек-рого объекта над Yдостаточно проверить это свойство для объекта, полученного после строго плоской замены базы
(см. [1]). В связи с этим представляют интерес критерии плоскостности морфизма 
(или 
-модуля 
); при этом Yможно считать локальной схемой. Простейший критерий относится к случаю, когда база Yодномерна и регулярна: когерентный 
-модуль 
будет плоским тогда и только тогда, когда униформизирующая на Yимеет тривиальный аннулятор в 
. Общий случай в нек-ром смысле сводится к одномерному. Пусть Y - приведенная нётерова схема и для любого морфизма 
, где Z - одномерная регулярная схема, замена базы 
является П. м.; тогда f есть П. м. Другой критерий плоскостности требует, чтобы 
был универсально открыт,
а Y и геометрич. слои
- приведены.
Лит.:[1] Grothendieck A., Dieudonne .Т., Elements de geometric algebrique, 4, "Publ. math. IHES", 1964, № 24; 1966, № 28; [2] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [3] Rауnaud M., GrusonL., "Invent, math.", 1971, v. 13, p. 1-89.
В. И. Данилов
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
