БРАУЭРА - СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ это:

БРАУЭРА - СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ

алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. замыканием поля , изоморфно проективному пространству.

Арифметич. свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл связь Б. -С. М. с центральными простыми алгебрами над полем kи c Брауэра группой.

Простейшим нетривиальным примером одномерного Б.- С. м. является проективная коника Q:


на действительной проективной плоскости . Над полем комплексных чисел это многообразие изоморфно проективной прямой . Множество всех одномерных Б.- С. м. (рассматриваемых с точностью до изоморфизма) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством проективных невырожденных коник (рассматриваемых с точностью до проективной эквивалентности над k), к-рое, в свою очередь, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством (неизоморфных) алгебр обобщенных кватернионов над k. В приведенном выше примере конике соответствует алгебра обычных кватернионов.

В многомерном случае множество классов и-мерных Б. -С. м. (т. е. множество Б. -С. м., различаемых с точностью до k-изоморфизма) может быть отождествлено с множеством Галуа когомологий где - проективная группа автоморфизмов проективного пространства (см. [3], [4]). Этим же множеством когомологий описываются классы k-изоморфных центральных простых й-алгебр ранга (т. е. форм матричной алгебры ). Более явно связь Б.- С. м. с центральными простыми алгебрами устанавливается следующим образом, k-алгебре Аранга сопоставляется многообразие Xее левых, идеалов ранга г, к-рое задается как замкнутое подмногообразие в Грассмана многообразии всех k-линейных подпространств размерности rв А. В нек-рых случаях многообразие Xможно задать с помощью норменных уравнений, как, например, в случае алгебр кватернионов. Взаимосвязь Б.- С. м. и алгебр существенно используется при изучении как тех, так и других (см. [1], [4]).

Наиболее существенными свойствами В.- С. м. являются следующие. Б. -С. м. Xтогда и только тогда k-изоморфно проективному пространству Р nk , когда оно имеет точку в поле k. Любое Б.- С. м. имеет точку в нек-ром конечном сепарабельном расширении Кполя k(см. [1]).

Для Б.- С. м., определенных над полем алгебраич. чисел, справедлив Хассе принцип.

Поле рациональных функций k(X).на В. -С. м. Xявляется полем разложения соответствующей алгебры А;более того, произвольное расширение Кполя kтогда и только тогда является полем разложения для А, когда Xимеет К- точку (см. [4]).

В связи с обобщением на схемы понятий центральной простой алгебры и группы Брауэра было введено понятие схем Брауэра - Севери, обобщающее понятие Б.- С. м. (см. [2]). Пусть - морфизм схем. Схема Рваз. схемой Брауэра - Севери, если локально, в этальной топологии схемы X, схема Ризоморфна проективному пространству над X. Схема Рнад схемой Xтогда и только тогда является схемой Брауэра - Севери, когда - конечно представленный собственный плоский морфизм и все геометрич. слои его изоморфны проективным пространствам [2].

Лит.:[1] F., "Ann. Ecole Normal supereur", 1944, t. 61, p. 249-300; [2] Grоthendiесk A., Le groupe de Brauer, в кн.: Seminaire Bourbaki, annge 17, 1964/65, N. Y.- Amst., exposes 290, p. 1-21: [3] Серр Ж.-П., Когомологий

Галуа, пер. с франц., М., 1968; [4] Рокетт П., "Математика", 1967, т. И, в. 5, с. 88 -116. В. А. Исковских.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БРАУЭРА - СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… …   Математическая энциклопедия

  • ЛЕФШЕЦА ФОРМУЛА — формула, выражающая число неподвижных точек эндоморфизма топологич. пространства через следы соответствующих эндоморфизмов в пространствах когомологий. Эта формула была установлена впервые С. Лефшецом для конечномерных ориентируемых топологич.… …   Математическая энциклопедия

  • ЛЕФШЕЦА ТЕОРЕМА — 1) Л. т. о неподвижных точках, Лефшеца Хопфа теорема, теорема, позволяющая выразить число неподвижных точек непрерывного отображения через его Лефшеца число. Так, если непрерывное отображение f: конечного клеточного пространства Xне имеет… …   Математическая энциклопедия

  • РАЗМЕРНОСТИ ТЕОРИЯ — часть топологии, в к рой для каждого компакта, а впоследствии и для более общих классов топологич. пространств тем или иным естественным образом определяется числовой топологич. инвариант размерность, совпадающий, если Xесть полиэдр (в частности …   Математическая энциклопедия

  • ЛЮРОТА ПРОБЛЕМА — проблема характеризации подполей поля рациональных функций. В 1876 Ж. Люрот [1] (см. также [2]) доказал, что всякое подполе поля рациональных функций от одной переменной k(x), содержащее поле kи отличное от k, изоморфно полю k(x).(теорема Л ю р о …   Математическая энциклопедия

  • конструктивизм —         КОНСТРУКТИВИЗМ (от лат. constructio построение) направление в эпистемологии и философии науки, в основе которого лежит представление об активности познающего субъекта, который использует специальные рефлексивные процедуры при построении… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • ВЕЙЛЬ — (Weyl) Герман (1885 1955) математик и философ, член Национальной Академии Наук США, лауреат Международной премии имени Лобачевского (1927). Образование получил в Геттингенском Университете (1908). Профессор математики Политехнического Института в …   История Философии: Энциклопедия

  • ИНТУИЦИЯ — (от позднелат. intuitio, от лат. intueor пристальное, внимательное всматривание, созерцание) способность к прямому усмотрению истины, постижению ее без всякого рассуждения и доказательства. Для И. обычно считаются типичными неожиданность,… …   Философская энциклопедия

  • ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ЗАРЯД — формальная характерис тика динамич. системы в существенно нелинейных моделях (см. Нелинейная квантовая теория поля, Нелинейные системы), применяемых для описания протяжённых локализованных структур (частиц, монополей, вихрей, солитонов,… …   Физическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов ( идеалов, модулей, нормирований и т. д.). К. а. выросла из задач, возникавших в теории чисел и алгебраич. геометрии. Задачи эти, как правило, относились к… …   Математическая энциклопедия

  • РАЗМЕРНОСТЬ — топологического пространства X целочисленный инвариант dim X, определяемый следующим образом. Тогда и только тогда dim X = 1, когда . О непустом тополо гич. пространстве Xговорят, что оно не более чем n мерно, и пишут dim , если в любое конечное… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»