АФФИННАЯ СХЕМА

АФФИННАЯ СХЕМА

- обобщение понятия аффинного многообразия, играющее роль локального объекта в теории схем. Пусть А - коммутативное кольцо с единицей. Аффинная схема состоит из топо-логич. пространства Spec Аи пучка колец на Spec A. При этом Spec Аесть множество всех простых идеалов кольца А(называемых точками аффинной схем ы), наделенное Зариского топологией (или, что тоже, спектральной топологией), в к-рой базис открытых, множеств составляют подмножества когда пробегает элементы кольца А. Пучок локальных колец определяется условием где - кольцо частных кольца Аотносительно, мультипликативной системы

А. с. введены А. Гротендиком [1] при построении теории схем. Схема есть окольцованное пространство, локально изоморфное А. с.

А. с. Spec Аназ. нётеровой А. с. (соответственно целостно и, приведенной, нормальной, регулярной), если кольцо Анётерово-(соответственно целостно, без нильпотентов, целозамкнуто, регулярно). А. с. наз. связной (соответственно неприводимой, дискретной, квазикомпактной), если таковым является топологич. пространство Spec А. Пространство Spec AА. с. всегда квазикомпактно.

А. с. образуют категорию, если морфизмами А. с. считать морфизмы этих схем как локально окольцованных пространств. Каждый гомоморфизм колец определяет морфизм А. с.: состоя щий из непрерывного отображения и гомоморфизма пучков колец переводящего сечение пучка над множеством в сечение Морфизмы произвольной схемы в А. с. (называемые также -значными точками схемы ) взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам колец тем самым сопоставление является контравариантным функтором из категории коммутативных колец с единицей в категорию А. с., устанавливающим антиэквивалентность этих категорий. В частности, в категории А. с. существуют конечные прямые суммы и расслоенные произведения, двойственные конструкциям прямой суммы и тензорного произведения колец. Морфизмы А. с., соответствующие сюръективным гомоморфизмам колец, наз. замкнутыми вложениями А. с.

Наиболее важными примерами А. с. являются аффинные многообразия; другими примерами служат аффинные групповые схемы.

Подобно тому, как строится пучок , для любого А-модуля может быть построен пучок -модулей на , для к-рого


Такие пучки являются квазикогерентными пучками. Категория -модулей эквивалентна категории квазикогерентных пучков -модулей на проективным модулям соответствуют локально свободные пучки. Ко-гомологии квазикогерентных пучков на А. с. описываются теоремой Серра:


Обращение этой теоремы - критерий аффинности Серра- утверждает, что если - квазикомпактная отделимая схема и для любого квазикогерентного пучка -модулей есть А. с. Существуют и другие критерии аффинности (см. [1], [4]).

Лит.:[1] Grothendieck A., Elements de geometric algebrique, t. 1, P., 1960; [2] Дьедонне Ж., "Математика", 1965, т. 9, № 1, с. 54-126; [3] Манин Ю. И., Лекции по алгебраической геометрии, ч. 1, М., 1970; [4] Goodman J., Hartshorne R., "Amer. J. Math.", 1969, v.91, № 1, p. 258 - 66. В. И. Данилов, И. В. Долгачев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "АФФИННАЯ СХЕМА" в других словарях:

  • Схема (математика) — В алгебраической геометрии схема  это абстракция, позволяющая связать единым образом коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести… …   Википедия

  • НЁТЕРОВА СХЕМА — схема, допускающая конечное открытое покрытие спектрами нётеровык колец. Аффинная Н. с. в точности спектр нётерова кольца. Топологич. пространство Н. с. Xявляется нётеровым топологич. пространством, а все локальные кольца 6х, х нётеровы. Если… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ ГРУППОВАЯ СХЕМА — групповая схема Gнад базисной схемой S, значение к рой на любой S схеме является абелевой группой. Примерами К. г. с. служат абелевы схемы и алгебраические торы. Обобщением алгебраич. торов в рамках теории групповых схем служит следующее понятие …   Математическая энциклопедия

  • СИМПЛИЦИАЛЬНАЯ СХЕМА — (прежние названия симплициальный комплекс, абстрактный симплициальный комплекс) множество, элементы к рого наз. вершинами и в к ром выделены такие конечные непустые подмножества, наз. симплексами, что каждое непустое подмножество симплекса s… …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ — 1) К. p. (dimGX) топологического пространства Xотносительно группы коэффициентов G максимальное целое число р, для к рого в X найдутся замкнутые подмножества Атакне, что когомологий Н p( Х, A; G )отличны от нуля. Аналогично определяется… …   Математическая энциклопедия

  • АФФИННОЕ МНОГООБРАЗИЕ — аффинное алгебраическое многообразие, обобщение понятия аффинного алгебраического множества. А. м. есть приведенная аффинная схема X конечного типа над полем k, т. е. , где А коммутативная fe алгебра конечного типа без нильпотентных элементов. А …   Математическая энциклопедия

  • ДЕФОРМАЦИЯ — 1) Д. аналитической структуры семейство аналитич. ространств (или связанных с ними аналитич. объектов), зависящее от параметров. Теория Д. возникла из задачи классификации всевозможных попарно не изоморфных комплексных структур на данном… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — обобщение понятия схемы и алгебраического многообразия. К этому обобщению приводят нек рые конструкции алгебраич. геометрии: схемы Гильберта, схемы Пикара, мнoгообразия модулей, стягивания, не выполнимые зачастую в категории схем и требующие… …   Математическая энциклопедия

  • ГЛАВНОЕ ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО — главный G объект в категории алгебраич. многообразий или схем. Если S схема, а Г схема групп над S, то главный G объект в категории схем над Г наз. Г. о. п. над S. В случае, когда S спектр поля kи Г алгебраическая k группа, Г. о. п. над Г есть… …   Математическая энциклопедия

  • АФФИННЫЙ МОРФИЗМ — морфнзм схем f: такой, что прообраз любой открытой аффинной подсхемы в является аффинной схемой; при этом схема X наз. аффинной схемой. Пусть схема, квазикогерентный пучок алгебр и пусть открытые аффинные подсхемы в , образующие …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»