МОНОТОННЫЙ ОПЕРАТОР

- одно из понятий нелинейного функционального анализа.

Пусть Е- банахово пространство,- его сопряженное, - значение линейного функционала на элементе . Оператор А, вообще говоря, нелинейный и действующий из , наз. монотонным, если

для любых . Оператор наз. полунепрерывным, если для любых числовая функция непрерывна по t. Примером полунепрерывного М. о. является градиент выпуклого дифференцируемого в смысле Гато функционала. Многие функционалы вариационного исчисления выпуклы и потому порождают М. о.; они полезны при решении нелинейных интегральных уравнений и именно к ним впервые применялись.

Различные приложения М. о. к вопросам разрешимости нелинейных уравнений основаны на следующей теореме (см. [1], [2]). Пусть Е- рефлексивное банахово пространство и А- полунепрерывный М. о., обладающий свойством коэрцитивности,

Тогда для любого уравнение имеет хотя бы одно решение.

Определенный на множестве оператор Асо значениями в наз. монотонным на D, если неравенство (1) имеет место для любых и максимальным монотонным, если он монотонный на Dи не имеет строгого монотонного расширения.

Исследование уравнений с М. о. во многом стимулировалось задачами теории квазилинейных эллиптич. и параболич. уравнений. Так, напр., краевые задачи для квазилинейных параболич. уравнений приводят к уравнению вида

в подходящем банаховом пространстве Е. Такое же уравнение естественным образом возникает и при исследовании задачи Коши для абстрактных эволюционных уравнений с нелинейными операторами в банаховых пространствах. Если пространство Ерефлексивно, - ограниченный, полунепрерывный и коэрцитивный М. о., а - линейный максимальный М. о. с плотной в Еобластью определения, то уравнение (2) разрешимо при любом . Идеи монотонности применялись также в задаче о почти периодических решениях нелинейных параболич. уравнений.

Лит.:[1] Вrоwder F., "Bull. Amer. Math. Soc", 1963, v. 69, p. 858-61; [2] MintyG. J., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1963, v. 50, p. 1038-41; [3] Вайнберг М. М., Качуровский Р. И., "Докл. АН СССР", 1959, т. 129, № 6, с. 1199-1202; [4] Вайнберг М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М., 1972; [5] Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, пер. с франц., М., 1972; [6] Левитан Б. М., Жиков В. В., Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения, М., 1978; [7] Качуровский Р. И., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 2, с. 121 - 168.

В. В. Жиков.