ЛУЗИНА ПРОБЛЕМА

- 1) Проблема теории тригонометрич. рядов, состоявшая в доказательстве гипотезы Лузина о том, что ряд Фурье

каждой измеримой по Лебегу функции f(x), заданной на отрезке [0, 2p]. с конечным интегралом

сходится почти всюду на [0, 2p]. Гипотеза высказана Н. Н. Лузиным в 1915 в его диссертации (см. [1] с. 219). Л. п. решена в 1966 в утвердительном смысле Л. Карлесоном (см. Карлесона теорема). До работы Л. Карлесона [2] не было даже известно, сходится ли хотя бы в одной точке ряд Фурье каждой непрерывной на отрезке [0, 2p] функции.

Лит.:[1] Л у з и н Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, 2 изд., М.- Л., 1951; [2] С а r 1 е s о n L., "Acta math.", 1966, v. 116, p. 135-57. Б. С. Кашин.

2) Ряд фундаментальных задач теории множеств, поставленных Н. Н. Лузиным [1], для решения к-рых он предложил метод резольвент. Именно, нек-рая проблема Ртеории множеств поставлена в резольвенту, если можно назвать множество точек Етакое, что проблема Ррешается положительно каждый раз, когда можно назвать точку из Е, и решается отрицательно, если можно доказать, что множество Епусто. Само множество Еназ. резольвентой проблемы Р.

Проблема 1. Будут ли все аналитич. дополнения либо счетны, либо иметь мощность континуума? Резольвента Еэтой проблемы есть Лузина множество класса не выше 3, т. е. если можно указать точку из Е, то существует несчетное аналитич. дополнение без совершенной части, а если Епусто, то таких аналитич. дополнений не существует.

Проблема 2. Существуют ли неизмеримые по Лебегу множества Лузина?

Проблема 3. Существует ли множество Лузина без Бэра свойства?

Н. Н. Лузин предполагал, что проблемы 1, 2, 3 неразрешимы. Эта гипотеза подтвердилась (см. [3], [4]). Установлены связи между этими проблемами. Напр., из существования неизмеримого множества типа A₂ следует существование несчетного множества типа СА, не содержащего совершенного подмножества. Получено [5] положительное решение Л. п. о частях натурального ряда, исходя из континуум-гипотезы или отрицания гипотезы Лузина.

Лит.:[1] Лузин Н. Н., "С. г. Aead. sci.", 1925, t. 181, p. 279 -81; [2] е г о же, Собр. соч., т. 2, М., 1958; [3] Н о в и к о в II. С., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 279 - 316; [4] S о 1 о v а у R., "Ann. Math.", 1970, v. 92, № 1, p. 1 - 56; [5] Н о в а к Й., "Чехосл. матем. ж.", 1953, т. 3, с. 385-95.

Б. А. Ефимов.