ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

одной случайной переменной Y=(Y⁽¹⁾, ..., Y^(m))' по другой Х=(Х ⁽¹⁾, ..., Х ^(p))' - линейная по xm-мерная векторная форма, описывающая зависимость условного математич. ожидания (при условии Х=x).случайного вектора Y от значений x = (х ⁽¹⁾ ..., х ^(p))'. Соответствующие уравнения

наз. уравнениями линейной регрессии Y по X, а параметры b_kj - коэффициентами регрессии (см. также Регрессия).

В приложениях допускается интерпретация переменной X как наблюдаемого параметра (не обязательно случайного), от к-рого зависит математич. ожидание исследуемого результирующего показателя Y(X). Кроме того, часто под Л. р. Y^(k) по X понимают "наилучшую" (в определенном смысле) линейную аппроксимацию Y^(k) посредством величин X или результат наилучшего

(в определенном смысле) выравнивания имеющейся системы экспериментальных точек ("наблюдений") с помощью гиперплоскости в пространстве в ситуациях, когда интерпретация совокупности этих точек как выборки из соответствующей генеральной совокупности может и не быть правомочной. При таком определении приходится различать разные варианты Л. р. в зависимости от выбора способа вычисления ошибки линейной аппроксимации Y^(k) посредством величин X (или в зависимости от конкретного выбора критерия качества выравнивания). Наиболее распространенными критериями качества аппроксимации Y^(k) с помощью линейных комбинаций X (линейного выравнивания точек ) являются:

В этих соотношениях выбор "весов" w(X) или w_i зависит от природы конкретной исследуемой схемы. Так, напр., если Y^(k)(X) интерпретируются Как случайные величины, дисперсия к-рых (или их оценки) известны, то В последних двух критериях "невязки" аппроксимации или выравнивания измеряются расстояниями от Y^(k)(X )или до искомой гиперплоскости регрессии. Если коэффициенты b_ki определяются из условия минимизации величин то Л. р. наз. средней квадратической; при использовании критериев Л. р. наз. средней модульной (или средней абсолютной); при использовании критериев - ортогональной. В не-к-рых случаях Л. р. в классич. смысле (*) совпадает с Л. р., определенной с использованием функционалов типа Q_i. Так, напр., если вектор подчиняется многомерному нормальному закону, то регрессия Y^(k) по X в смысле (*) совпадает со средней квадратичсской Л. р. (при w(X)=1).

Лит.: [1] Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; [2] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] К е н-далл М. Д ж., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; [4] Р а о С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968.

С. А. Айвазян.