ЛИ АЛГЕБР МНОГООБРАЗИЕ

над кольцом k - класс алгебр Ли над k, удовлетворяющих некрой фиксированной системе тождеств. К наиболее распространенным Ли а. м. относятся многообразия: - абелевых алгебр Ли, заданное тождеством - нильпотентных класса салгебр Ли, в к-рых любые произведения длины больше сравны нулю, - разрешимых длины алгебр Ли, в к-рых производный ряд сводится к нулю не более чем за lшагов. Совокупность v(k).всех алгебр Ли а. м. над k- группоид относительно умножения: где - класс расширений алгебр из при помощи идеалов из алгебры из наз. м е т а б е л е в ы м и.

Центральная проблема теории Ли а. м.- описание базисов тождеств Ли а. м., в частности с точки зрения их конечности или бесконечности (если кольцо kнё-терово). В случае, если k- поле характеристики р>0, имеются примеры локально конечных Ли а. м., лежащих в и не обладающих конечным базисом тождеств. В случае поля kхарактеристики 0 примеров бесконечно базируемых многообразий пока нет (1982). Коночная базируемость сохраняется при умножении справа на нильпотентное многообразие или при объединении с таким многообразием. К числу шпехтовых (т. е. таких, в к-рых каждое многообразие конечно базируемо) Ли а. м. относятся Ли а. м. над любым нётеровым кольцом, над любым полем характеристики Ли а. м. var(k₂), определенное тождествами, справедливыми в алгебре Ли k₂ матриц порядка 2 над полем k,char(k)=0. Над полем kхарактеристики 0 нет пока примера конечномерной алгебры Ли Атакой, что var(A).бесконечно базируемо, над бесконечным полем kхарактеристики р>0 такие примеры имеются. Над конечным полем или, общее, над любым конечным кольцом kс единицей тождества конечной алгебры Ли Аследуют из своей конечной подсистемы.

Ли а. м. var(A), порожденное конечной алгеброй .4, наз. многообразием Кросса и содержится в многообразии Кросса состоящем из алгебр Ли, в к-рых все главные факторы имеют порядок все нильпотентные факторы имеют класс все внутренние дифференцирования ad xаннулируются унитарным многочленом Почти кросс о-вы многообразия (т. е. некроссовы многообразия, все собственные подмногообразия к-рых кроссовы) описаны в разрешимом случае, имеются примеры неразрешимых почти кроссовых многообразий. "Группоид v(k).над бесконечным полем - свободная полугруппа с 0 и 1, над конечным полем v(k). может не быть ассоциативным. Решетка подмногообразий Ли а. м. над полем kмодулярна, но не дистрибутивна в общем случае. Дистрибутивность решетки имеет место лишь в случае бесконечного поля. Базисы тождеств конкретных алгебр Ли найдены лишь в немногих нетривиальных случаях: для k₂(char(k)=0 либо сhаr(k).2), а также для некоторых метабелевых алгебр Ли. Важные результаты получены об алгебрах Ли с тождеством (adx)ⁿ=0 (см. Ли нильалгебра).

Лит.:[1] Артамонов В. А., "Успехи матем. наук", 1978, т. 33, в. 2, с. 135-67; [2] A m а у о R., S t е w a r t I., Infinite-dimensional Lie algebras, Leyden, 1974; [3] Вахтypин Ю. A., Lectures on Lie algebras, В., 1978.

Ю. А. Бахтурин.