ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР

ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР

лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой

(здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма).

Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой

пусть - матрица, обратная к матрице Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид

где - локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики

Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид

где d - оператор внешнего дифференцирования формы, d* - формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах:

где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р )-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. о. в локальных координатах записывается в виде

Здесь - ковариантные производные по

- тензор кривизны, - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс

где Е р - действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г ( Е р) - пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е р эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М, можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е р. Тогда определены операторы d*, формально сопряженные к операторам d. По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г( Е р). Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах.

На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы

где - пространство гладких форм типа ( р, q).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М, можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8):

Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М - кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то

Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа:

В этом разложении где - Л. о. комплекса (6), так что - пространство "гармонических" сечений расслоения Е р (в случае комплекса де Рама - это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене и пространства гармонич. сечений

Лит.: [1] Рам Ж. д е, Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [2] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [3] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976. М. А. Шубин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР" в других словарях:

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — (лапласиан) простейший эллиптич. дифференц. оператор 2 го порядка действующий на гладкие ф ции f(х 1, . . ., х n), определённые в евклидовом пространстве R с декартовыми координатами х 1 ..., х п (или в нек рой его части G). Л. о. инвариантен… …   Физическая энциклопедия

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — линейный дифференциальный оператор, который функции ?(x, y, z) ставит в соответствие функциюВстречается во многих задачах математической физики (распространение света, тепла, движение идеальной несжимаемой жидкости). Уравнение ???0 называется… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Лапласа оператор — Оператор Лапласа (лапласиан) дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию . Оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в… …   Википедия

  • Лапласа оператор — линейный дифференциальный оператор, который функции φ(х, у, z) ставит в соответствие функцию . Встречается во многих задачах математической физики (распространение света, тепла; движение идеальной несжимаемой жидкости). Уравнение Δφ = 0… …   Энциклопедический словарь

  • Лапласа оператор —         лапласиан, дельта оператор, Δ оператор, линейный дифференциальный Оператор, который функции φ(x1, x2,..., xn) от n переменных x1, x2,..., xn ставит в соответствие функцию          Δφ =          В частности, для функции φ(x, y) двух… …   Большая советская энциклопедия

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — линейный дифференц. оператор, к рый ф ции ф(фи) (х, у, z) ставит в соответствие ф цию Встречается во мн. задачах матем. физики (распространение света, тепла; движение идеальной несжимаемой жидкости). Ур ние дельта ф(фи) = 0 наз. Лапласа… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — линейный дифференц. оператор, к рый функции и (х. у, г) ставит в соответствие функцию Ур ние дельта u = 0 наз. Лапласа уравнением …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное ур ние с частными производными где u(х, у, z) ф ция независимых переменных х, у, z. Названо по имени франц. учёного П. Лапласа, применившего его в работах по тяготению (1782). К Л. у. приводят мн. задачи физики и механики, в к… …   Физическая энциклопедия

  • Оператор набла — (оператор Гамильтона)  векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом …   Википедия

  • Оператор (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Оператор.     Квантовая механика …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»