КОНУС

- 1) К. в евклидовом пространстве - множество К, составленное из полупрямых, исходящих из нек-рой точки О- вершины К. Границу дК множества К(составленную из полупрямых, наз. образующими К.) - часть конической поверхности- также иногда наз. К. Наконец, часто К. наз. пересечение Кс полупространством, содержащим Ои ограниченным плоскостью, не проходящей через О. В этой ситуации часть плоскости, лежащая внутри конич. поверхности, наз. основанием К., а часть конич. поверхности, заключенная между вершиной и основанием,- боковой поверхностью К.

Если основание К. есть круг, то К. наз. к руговым. Круговой К. наз. прямым, если ортогональная проекция его вершины на плоскость основания совпадает с центром основания. Прямая, проходящая через вершину К. перпендикулярно основанию, наз. осью К., а ее отрезок между вершиной и основанием - высотой К. Объем прямого кругового К. равен pR²h/3, где h- высота, R- радиус основания; площадь боковой поверхности равна pRl, где l- длина отрезка образующей между вершиной и основанием. Подмножество К., заключенное между двумя параллельными плоскостями, наз. усеченным К., или коническим слоем. Слой прямого кругового К. между плоскостями, параллельными основанию, имеет объем p(R²+r²+Rr) h/3, где R, r- радиусы оснований, h- высота (расстояние между основаниями); площадь боковой поверхности p(R+r)l, где l- длина отрезка образующей.

А. Б. Иванов.

2) К. над топология, пространством X(основанием К.) - пространство СХ, получающееся из произведения X[0, 1] стягиванием подпространства XX {0} в одну точку W(вершину К):

Другими словами, СХ- цилиндр постоянного отображения (см. Цилиндрическая конструкция )или конус тождественного отображения id : (см. Коническая конструкция). Пространство Xстягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом всякого К. над X.

Понятие К. над топологич. пространством обобщается в рамках теории категорий: множество морфизмов произвольной категории с общим началом в объекте Аназ. конусом морфизмов с вершиной А;двойственно, коконус морфизмов есть множество морфизмов b_i : с общим концом в объекте А. См. [4], [5], [6].

М. И. Войцеховский.

3)К. отображения - топологич. пространство, сопоставляемое непрерывному отображению топологич. пространств конической конструкцией. Пусть С ₁ - конус вложения - конус вложения и т. д. Получающаяся последовательность

наз. последовательностью Пуппе; здесь и т. д., где SX(SY)- надстройка над X(над Y).

Аналогично определяется приведенный конус С _f отображения пунктированных пространств. При этом, как и в ситуации с корасслоением, для любого пунктированного пространства Апоследовательность гомотопич. классов, индуцированная последовательностью Пуппе,

точна; в ней все члены, начиная с четвертого,- группы, а начиная с седьмого - абелевы группы. См. [4], [5].

А. <Ф. Харшиладзе.

4) К. в действительном векторном пространстве Е- множество такое, что для любого l>0. К. наз. заостренным, если а заостренный К.- выступающим, если Кне содержит никакого одномерного подпространства. Невыступающий К. иногда наз. клином.

К., являющийся выпуклым множеством в Е, наз. выпуклым. Таким образом, подмножество Кв Eявляется выпуклым К. тогда и только тогда, когда для всякого l>0 и В этом случае векторное подпространство в Е, порожденное выпуклым К. К, совпадает с множеством К- К. Если К. заострен, то - наибольшее векторное подпространство, содержащееся а К. Заостренный выпуклый К. будет выступающим тогда н только тогда, когда

Если Е- полуупорядоченное пространство, то положительный конус является выступающим, заостренным, выпуклым К. Обратно, любой такой К. Кв векторном пространстве Епорождает отношение порядка: если

К. Кназ. воспроизводящим, если любой элемент представим в виде разности элементов из К. Напр., воспроизводящими являются К. неотрицательных непрерывных (или суммируемых) функций на отрезке [О, 1], множество положительных операторов в пространстве ограниченных самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Однако К. неотрицательных неубывающих непрерывных функций таковым не является.

Наличие топологии в Енаделяет понятие К. более богатым содержанием, позволяющим получать нетривиальные результаты. Напр., пусть Е- отделимое локально выпуклое пространство и К- выступающий заостренный выпуклый К. в Е, имеющий непустую внутренность (такие К. наз. телесными). Тогда каждая линейная форма на Е, положительная на К, непрерывна; если М- векторное подпространство в Е, пересекающееся с внутренностью К, и f - линейная форма на М, положительная на то на Есуществует линейная форма продолжающая f и положительная на К. См. [1], [2], [3].

М. И. Войцеховский.

Более других развита теория К. в банаховых пространств а. <х. Пусть К - К. в банаховом пространстве Е, порождающий в Енек-рое отношение порядка Если К. замкнут, то для Еимеет место принцип Архимеда: если а числа l_n>0 и и при этом существует такое y, что при всех п, то Для телесного К. верно и обратное: из архимедовости Евытекает замкнутость К.

Пусть К'- сопряженный клин, т. е. совокупность всех положительных линейных непрерывных функционалов на Е(f положителен, если для любого К'- К. тогда и только тогда, когда К- пространственный, т. е. замыкание Если Кзамкнут, то для любого x₀>0 (соответственно существует такой что f(x₀)>0 (f(x₀)<0).

К. Кназ. несплющенным, если для любого существуют такие u, vО K, что

где М=const.

Если К. замкнутый и воспроизводящий, то он несплющен (теорема Крейна - Шмульяна).

К. Кназ. нормальным, если

Нормальность К. равносильна полумонотонности нормы:влечет где М=const. Для того чтобы клин К' был воспроизводящим в сопряженном пространстве, необходимо и достаточно, чтобы К. был нормальным (теорема Крейна). Двойственно: если К'- нормальный К., соответствующий замкнутому К. К, то К. Квоспроизводящий. Существует взаимно однозначное линейное и непрерывное отображение пространства Ес нормальным К. Кв подпространство пространства С(Q)непрерывных функций на некотором бикомпакте Q, при котором элементы из Ки только они переходят в неотрицательные функции.

К. Кназ. правильным (вполне правильны м), если всякая последовательность элементов из К, возрастающая и ограниченная по порядку (по норме), сходится. Если Кзамкнут и правилен, то он нормален, а всякий вполне правильный конус нормален и правилен. Если же Кправилен и телесен, то он вполне правилен. Правильность К. связана со свойством монотонной непрерывности нормы: если т. е. семейство {х _a} - убывающее направление, и inf x_a = 0, то Правильность замкнутого К. Кравносильна тому, что пространство Едедекнндово полно, а норма в Емонотонно непрерывна. Правильность телесного К. Квлечет монотонную непрерывность нормы в Е.

К. Кназ. оштукатуриваемым, если существуют К. и число d>0 такие, что для любого шар Оштукатуриваемость Кравносильна существованию в Еэквивалентной нормы, аддитивной на К. Оштукатуриваемый К. вполне правилен.

Теория К. развита и для произвольных нормированных пространств. Однако в этом общем случае нек-рые из вышеприведенных результатов не сохраняются, напр., перестает быть верной теорема Крейна - Шмульяна, а правильность замкнутого К. не влечет его нормальность. См. [1], [7], [8], [9], [10].

Б. <З. <Вулих.

Лит.:[1] Функциональный анализ, 2 изд., М., 1972, гл. 8 (Справочная матем. библиотека); [2] Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969; [3] Шeфер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [4] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976; [5] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [6] Даленко М. Ш., Шульгсйфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974; [7] Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, М., 1962; [8] Вулих Б. 3., Введение в теорию конусов в нормированных пространствах, Калинин, 1977; [9] его же. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах, Калинин, 1977; [10] Крейн М. Г., Рутман М. А., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 1, с. 3-95.