КОНИКА

- линия 2-го порядка, т. е. множество точек плоскости (проективной, аффинной, евклидовой), однородные координаты х ₀, х ₁, х ₂ к-рых (относительно проективной, аффинной или декартовой систем координат) удовлетворяют однородному уравнению второй степени:

Билинейная симметричная форма

наз. полярной формой относительно F(х). Две точки М'( х'₀, х'₁, х'₂), М"( х"₀, х"₁, х"₂), для к-рых Ф ( х' ,х")=0, наз. полярно сопряженными относительно К. Если прямая ( М', М" )пересекает К. в точках N₁, N₂ и точки М', М" полярно сопряжены относительно К., то точки N₁, N₂ и М', М" образуют гармонич. четверку. Точки К. и только они являются самосопряженными относительно К. <Полюсом данной прямой относительно К. наз. точка, полярно сопряженная со всеми точками этой прямой. Множество точек плоскости, полярно сопряженных с данной точкой М' относительно К., наз. полярой точки М' относительно К. Поляра точки М' определяется линейным уравнением Ф ( х, х')= 0 относительно координат х ₀, х ₁, х ₂. Если Ф ( х, х') неравно 0, то поляра точки М'- прямая линия; если Ф ( х, х')= 0, то поляра точки М'- вся плоскость. В этом случае точка М' принадлежит К. и наз. ее особой точкой. Если число R = rang(a_ij)=3, то К. не имеет особых точек и наз. невырождающейся, или нераспадающейся. На проективной плоскости это - действительный овал, или мнимый овал. Нераспадающаяся К. определяет на проективной плоскости корреляцию - биективное отображение множества точек на множество прямых. Касательная к нераспадающейся К. ость поляра точки касания. Если R = 2, то К. является парой действительных или парой мнимых прямых, пересекающихся в особой точке. Если R - i, то каждая точка К. является особой, а сама К.- парой совпадающих, действительных прямых (сдвоенной прямой). Аффинные свойства К. выделяются спецификой ее расположения и ассоциированных с ней точек и прямых относительно выделенной прямой х ₀=0- несобственной прямой. К. имеет гиперболический, эллиптический или параболический тип в зависимости от того, пересекает она несобственную прямую , не пересекает (d>0) или касается ее (d=0). Центр К.- полюс несобственной прямой, диаметр - поляра несобственной точки, асимптота - касательная к К. в несобственной точке. Два диаметра сопряжены относительно К., если их несобственные точки полярно сопряжены относительно К.

Метрические свойства К. выделяются из аффинных инвариантностью расстояния между двумя произвольными точками. Диаметр К., ортогональный сопряженному с ним диаметру, является осью симметрии К. и ваз. ее осью. Директриса К.- поляра ее фокуса.

Лит.:[1] Фиников С. П., Аналитическая геометрия, 2 изд., М., 1952; [2] Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960.

В. С. Малаховский.