КОВАРИАНТНЫЙ ТЕНЗОР

валентности -тензор типа (0, s), элемент тензорного произведения sэкземпляров пространства Е*, сопряженного (дуального) к векторному пространству Енад полем К. Относительно операции сложения К. т. одной и той же валентности и умножения их на скаляр T_S(E)является в свою очередь векторным пространством над К. Пусть Е- конечномерно и пусть e₁, ..., е _п- базис в Е, а е ¹,.. ., е ⁿ- сопряженный с ним базис в Е*. Тогда dim T_s(E)=n^s и базис в T_S(E)состоит из всевозможных разложимых тензоров вида Любой К. г. может быть представлен в виде Числа t_i1...is наз. координатами или компонентами К. т. относительно базиса e₁ ..., e_n в Е. При изменении базиса в Епо формулам е _i' = а ⁱ_i' е _i и соответственно базиса в T_s(E)координаты К. т. t изменяются по так наз. ковариантному закону

При валентности К. т. наз. ковариантным век тором;. при К. т. можно инвариантным образом связать с s-линейным отображением прямого произведения (s раз) в К, приняв координаты К. т. tотносительно базиса e₁ ..., e_n за значения r-линейного отображения tна базисных в E^s векторах (e_i1 ..., e_is ), и обратно; поэтому иногда К. т. определяют как полилинейный функционал на E^s.

Лит. см. при статье Ковариантный вектор.

И. X. Сабитов.