4-тензор

4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени^[1].

• Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.

В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:

$A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{j_1 j_2 \ldots j_m},$

причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть $i_1 = 0,1,2,3, i_2 = 0,1,2,3$ итд.

При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так^[2]:

$A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{\prime j_1 j_2 \ldots j_m} = \beta_{j_1 k_1} \beta_{j_2 k_2} \ldots \beta_{j_m k_m} \alpha_{i_1 l_1} \alpha_{i_2 l_2} \ldots \alpha_{i_n l_n} A_{l_1 l_2 \ldots l_n}^{k_1 k_2 \ldots k_m}$,

где $\alpha_{ij}$ — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а $\beta_{ij}$ — обратная ей.

Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.

Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора $\hat{g}$, например для 4-тензора второго ранга

$A^{ij} = g^{jk} A^i_k$

Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.

Преимущества четырёхмерной записи

Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.

Примеры

4-тензоры в ОТО

• метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствии гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он - обычно - имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
• тензор кривизны
• тензор Риччи
• тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).

4-тензор электромагнитного поля

Основная статья: Тензор электромагнитного поля

Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.

Определение через 4-потенциал

4-тензор определяется через производные от 4-потенциала^[3]:

$F_{ik} = \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k}$.

Определение через трёхмерные векторы

4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:

$F_{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -H_z & H_y \\ -E_y & H_z & 0 & -H_x \\ -E_z & -H_y & H_x & 0 \end{matrix} \right)$

$F^{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -H_z & H_y \\ E_y & H_z & 0 & -H_x \\ E_z & -H_y & H_x & 0 \end{matrix} \right)$

Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.

Сила Лоренца

Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид

$m c \frac{du^i}{ds} = \frac{q}{c}F^{ik}u_k$,

где $u^k$ — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.

См. также

• 4-импульс
• 4-скорость
• 4-потенциал
• 4-ток
• Тензор электромагнитного поля
• Тензор энергии-импульса
• Тензор Эйнштейна
• Метрика пространства-времени

Примечания

1. ↑ повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты в трёхмерном пространстве, так и переходы между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой (преобразования Лоренца).
2. ↑ Здесь, как принято в теории относительности, знак суммы опускается — повторение индекса внизу и вверху значит суммирование; см. Соглашение Эйнштейна о суммировании.
3. ↑ Формулы на этой странице записаны в системе СГСГ

Внешние ссылки

• Глава 8 Релятивистская динамика 8.8. Cвойства тензоров и момент импульса частицы.(недоступная ссылка — история) Проверено 10 июня 2009.
• ЛЕКЦИЯ 20 Четырехмерные векторы и тензоры II ранга.. Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе (22 февраля 2002 года).(недоступная ссылка — история) Проверено 10 июня 2009.