КАНОНИЧЕСКИЙ КЛАСС

- класс К _X дивизоров относительно линейной эквивалентности на алгебраич. многообразии X, являющихся дивизорами дифференциальных форм со максимальной степени. Если X - неособое алгебраич. многообразие и dim X=n, то в локальных координатах х ₁, ..., х _п форма со имеет вид

Дивизор (со) формы со локально равен дивизору (f) рациональной функции f. Эта конструкция не зависит от выбора локальных координат и дает дивизор (w) формы на всем многообразии X. Поскольку для любой другой формы со' той же степени, что и со, имеет место равенство w' = gw, то (w')=(g)+(w) и соответствующие дивизоры эквивалентны. Построенный так К. к. К _X является цервым Чжэня классом пучка Их регулярных дифференциальных форм степени п. Его численные характеристики (степень, индекс самопересечения и т. д.) являются эффективно вычисляемыми инвариантами алгебраич. многообразия.

Если X- неособая проективная кривая рода g, то deg K_X=2g-2. Для эллиптич. кривых и, более общо, для абелевых многообразий К _X=0. Если X - неособая гиперповерхность степени dв проективном пространстве Р _n, то K_X=(d-п-1) Н, где Н- ее гиперплоское сечение.

См. также Каноническое погружение.

Лит.:[1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

А. Н. Паршин.