КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗРЕЗЫ

канонические сечения,- система

2g+v кривых на конечной римановой поверхности R рода g с v компонентами края, после удаления точек к-рых из R, т. е. разрезания Rвдоль кривых системы S, остается (плоская) односвязная область R*. Точнее, система Sобразована из К. р., если каждому замкнутому, или циклическому, разрезу, или, короче, циклу a_j, j=1, ..., g, в Sсоответствует ровно один так называемый сопряженный цикл b_j, пересекающий цикл a_j в одной и только в одной фиксированной точке общей для всех разрезов системы S. Остальные циклы и кривые l_s, s=l,. .., v, лишь имеют точку р ₀ общей, но не переходят с одного берега разреза a_j на другой; каждая кривая l_s соединяет р ₀ с соответствующей компонентой края. На данной римановой поверхности Rсуществует бесконечное множество систем 5 К. р. В частности, какова бы ни была односвязная область вместе со своим замыканием расположенная строго внутри R, можно выбрать систему К. р. так, чтобы

Далее, всегда можно найти систему К. p. S, состоящую только из аналитич. ривых. Единственность системы S аналитич. К. р. можно обеспечить, напр., потребовав дополнительно, чтобы достигался экстремум нек-рого функционала, связанного с S. В частности, можно проводить циклич. К. p. a_j, b_j системы S так, чтобы достигалось наибольшее в классе систем, гомотопных S, значение Робена постоянной в точке р ₀ для определенной области . Единственности разрезов l_s также можно добиться, исходя из требования максимизации постоянных Робена в определенной паре точек (см. [2]).

Лит.:[1] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; [2] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957.

Е. Д. Соломенцев.