- ИНЪЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ
- инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. е. такой R-модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R-модулей М, N, для любого мономорфизма i:
и для любого гомоморфизма f:
найдется такой гомоморфизм g:
что диаграмма коммутативна (все R-модули предполагаются правыми). Следующие условия на R-модуль Еравносильны его инъективности: 1) для любой точной последовательности
индуцированная последовательность
точна; 2) любая точная последовательность R-модулей, имеющая вид
расщепляется, т. е. подмодуль Im a=Кеr (5 выделяется в Мпрямым слагаемом; 3)
для всех R-модулей С; 4) для сякого правого идеала I кольца R любой гомоморфизм R-модулей f:
может быть продолжен до гомоморфизма R-модулей g:
(критерий Бэра).В категории R-модулей "достаточно много" инъективных объектов: каждый R-модуль Мможно вложить в И. м. Более того, каждый модуль Мсодержится в своей инъективной оболочке Е(М), то есть в И. м. Е(М), каждый ненулевой подмодуль к-рого имеет ненулевое пересечение с М. Любое вложение модуля Мв И. м. Епродолжается до вложения инъективной оболочки Е(М)в Е. Каждый R-модуль Мобладает инъективной резольвентой
т. е. точной последовательностью модулей, в к-рой все модули Ei,
. инъективны. Длина самой короткой инъективной резольвенты наз. инъективной размерностью модуля (см. также Гомологическая размерность).Прямое произведение И. м. есть И. м. Инъективный модуль Еравен Е r для любого элемента
не являющегося левым делителем нуля в R, т. е. И. м.- делимый модуль. В частности, абелева группа является И. <м. над кольцом Zтогда и только тогда, когда она делимая. Над коммутативным нётеровым кольцом R каждый И. м.- прямая сумма инъективных оболочек модулей вида R/P, где Р- простой идеал кольца R.И. м. широко используются при описании различных классов колец (см. Гомологическая классификация колец). Так, все модули над кольцом инъективны тогда и только тогда, когда кольцо классически полупросто. Равносильны условия: R - нётерово справа кольцо; любая прямая сумма инъективных R-модулей инъективна; любой инъективный R-модуль разлагается в прямую сумму неразложимых R-модулей. Артиновость справа кольца R равносильна тому, что каждый И. м. является прямой суммой инъективных оболочек простых модулей. Наследственность справа кольца равносильна инъективности всех фактормодулей инъективных R-модулей, а также тому, что сумма двух инъективных подмодулей в произвольном R-модуле инъективна. Если кольцо R наследственно справа и нётерово справа, то каждый R-модуль содержит наибольший инъективный подмодуль. Проективность (инъективность) всех инъективных (проективных) R-модулей эквивалентна тому, что R является квазифробениусовым кольцом.
Инъективная оболочка модуля RR играет важную роль в теории колец частных. Напр., если правый сингулярный идеал кольца Л равен нулю, Е- инъективная оболочка модуля RR,
- ее кольцо эндоморфизмов, то R-модули 
и ER изоморфны, Еявляется кольцом, изоморфным кольцу L, и это кольцо оказывается максимальным правым кольцом частных кольца R, причем 
- самоинъективное справа регулярное (в смысле Неймана) кольцо.В связи с различными задачами продолжения гомоморфизмов модулей рассматриваются классы модулей М, близких к инъективным: квазиинъективные (если
и f :
то f продолжается до эндоморфизма модуля М);псевдоинъективные (если 
f:
и f - мономорфизм, то f продолжается до эндоморфизма модуля М);малоинъективные (все эндоморфизмы подмодулей продолжаются до эндоморфизмов модуля М). Квазиинъективность модуля Мравносильна инвариантности модуля Мв своей инъективной оболочке относительно ее эндоморфизмов.Лит.:[1] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [3] Faith С, Lectures on injective modules and quotient rings, B.-Hdlb.-N.Y., 1967; [4] Sharpe D. W., Vamos P., Injective modules, Camb., 1972.
А. В. Михалев, А. А. Туганбаев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
