ЧИСТЫЙ ПОДМОДУЛЬ

в смысле Кона -такой подмодуль Аправого R-модуля В, что для любого левого R-модуля Сестественный гомоморфизм абелевых групп инъективен. Это эквивалентно следующему условию: если система уравнений

имеет решение в В, то она имеет решение и в А(ср. Плоский модуль). Ч. <п. является любое прямое слагаемое. Любой подмодуль любого правого R-модуля чист тогда и только тогда, когда R - регулярное кольцо.
В случае абелевых групп (т. е. при эквивалентны следующие утверждения: (1) А- чистая (или сервантная) подгруппа в В;(2) для любого натурального п;(3) А/пА - прямое слагаемое в В/пА для любого натурального n; (4) если и А/C- конечно порожденная группа, то А/C - прямое слагаемое в В/С;(5) каждый смежный класс факторгруппы В/А содержит элемент того же порядка, что и порядок этого смежного класса; (6) если и С/А конечно порождена, то А- прямое слагаемое в С. Если выполнение свойства (2) требуется лишь для простых п, то Аназ. слабо сервантной подгруппой.
Аксиоматич. подход к понятию чистоты базируется на рассмотрении класса мономорфизмов подчиненного следующим требованиям (здесь означает, что А- подмодуль в В и естественное вложение принадлежит (Ч0') если А- прямое слагаемое в В, то если и то если и то если и то если и то Рассмотрение класса вместо класса всех мономорфизмов приводит к относительной гомологич. алгебре. Напр., модуль Qназ. -инъективным, если из вытекает, что всякий гомоморфизм из Ав Qможет быть продолжен до гомоморфизма из Вв Q (ср. Инъективный модуль). Сервантно инъективная абелева группа наз. алгебраически компактной. Эквивалентны следующие свойства абелевой группы Q:(1) Qалгебраически компактна; (2) Qвыделяется прямым слагаемым из любой группы, содержащей ее в качестве сервантной подгруппы; (3) Qявляется прямым слагаемым группы, допускающей компактную топологию; (4) система уравнений над . разрешима, если разрешима каждая из ее конечных подсистем.