ДИСКРИМИНАНТ

- 1) Д. многочлена f(x)=a₀xⁿ+a₁ х ^n-1+...+ а _n, с корни к-рого равны a₁, a₂, ... , a _п,- произведение

Д. равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни. Д. симметричен относительно корней многочлена и поэтому может быть выражен через его коэффициенты.

Д. квадратного трехчлена ax²+bx+c равен b²-4ас;Д. многочлена x³+px+q (корни к-рого вычисляются по Кардано формуле )равен -27q²-4р ³. Если f(х) - многочлен над полем характеристики 0, то

где R(f,f') - результант многочлена f(x)и его производной f'(x). Производной многочлена f(x) = a₀xⁿ +a₁x^n-1+...+a_n с коэффициентами из любого поля наз. многочлен па ₀ х ^п-1+ (п-1) а ₁ х ^n-2+...+ a_n-1.

Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975.

И. В. Проскуряков.

2) Д. <полуторалинейной формы f в базисе (u)= {u₁, ... , u_n} - элемент из кольца А, равный

где (v)- фиксированный базис конечномерного свободного А-модуля Енад коммутативным кольцом Ас единицей, снабженным автоморфизмом а. Если (w)={w₁, ... , w_n} - другой базис в Е, а

- матрица перехода от (v)к (w), то

Если кольцо Ане имеет делителей нуля, то для невырожденности f необходимо и достаточно, чтобы

Если u₁, ...,u_n- произвольный набор пэлементов из Е, то элемент D_f(u₁,... , u_n )кольца А , определяемый формулой (*), наз. дискриминантом f относительно системы u₁, ...,u_n. Пусть Абез делителей нуля и f - невырожденная полуторалинейная форма. Тогда для того, чтобы система элементов u₁, ..., u_n из Ебыла свободной, необходимо и достаточно, чтобы При этом u₁,... , u_n будет базисом в Етогда и только тогда, когда D_f(u₁,... , u_n )и D_f(u₁, ..., и _n )ассоциированны в Адля некоторого базиса u₁, . . . , и _п в А.

Лит.:[1] Бурбаки Н.. Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974.

В. Л. Попов.

3) Д. системы элементов поля - одна из важных конструкций в теории расширений полей. Пусть К- конечное расширение поля kстепени п. Отображение в k:

где х,a Tr a - след элементаявляется

симметрической билинейной формой на поле K, рассматриваемом как линейное пространство над k. Д. этой билинейной формы (см. Дискриминант полуторалинейной формы) относительно системы элементов w₁... ,w_m из Кназ. дискриминантом системы w₁, ...,w_m и обозначается D(w₁, ... ,w_m). В частности, если указанная система есть базис Кнад к, то ее Д. наз. дискриминантом базиса K над k. Д. двух базисов отличаются множителем, являющимся квадратом нек-рого ненулевого элемента поля k. Д. всякого базиса Кнад кне равен нулю тогда и только тогда, когда расширение К/k сепарабельно. Если f_x(t)- многочлен степени га, являющийся минимальным многочленом элемента хиз сепарабельного расширения К/к, то D(1, х, х ²,..., х ^т )совпадает с Д. многочлена f_x(t). Приведенные определения могут быть перенесены также на случай произвольной конечномерной ассоциативной алгебры над полем (см. ниже п. 4).

В случае сепарабельного расширения К/k Д. базиса w₁, .. . , w_n может быть вычислен по формуле

где s₁, .. ., s_n - все различные вложения Кв фиксированное алгебраич. замыкание поля к, оставляющие неподвижным k.

Пусть k=Q- поле рациональных чисел, К- поле алгебраич. чисел и М- некоторый модуль ранга пв К. Тогда для любых двух базисов модуля Мзначения Д. совпадают и это общее значение Д. наз. дискриминантом модуля М. Если Мсовпадает с кольцом целых чисел поля К, то Д. модуля Мназ. просто дискриминантом поля К и обозначается D_k. Число D_k, является важной характеристикой поля К. Напр., если Кдопускает s вещественных и 2t комплексных вложений в поле комплексных чисел С, то

где z_k(q)- дзета-функция Дедекинда, h- число классов дивизоров, R- регулятор поля К и т- число корней из единицы в поле К. Имеется оценка

которая показывает, что Для квадратичного поля где d- свободное от квадратов целое рациональное число, имеют место формулы:

Для кругового поля K=Q(s), где е - примитивный корень р ^r -й степени из единицы (знак минус берется при р ^r=4 или p=3(mod 4), а плюс - в остальных случаях).

Указанное определение Д. модуля в поле алгебраич. чисел может быть обобщено на тот случай, когда к- поле частных дедекиндова кольца А, a К- конечное еепарабельное расширение поля кстепени п. Пусть В- целое замыкание кольца Ав Ки b - произвольный дробный идеал кольца В. Тогда дискриминантом идеала b наз. А-модуль D(6), порожденный всеми Д. вида D(w₁, ... , w_n), где {w₁, ... , w_n} пробегает всевозможные базисы поля Кнад к, лежащие в b. D(b) оказывается дробным идеалом кольца А, причем имеет место равенство D(b) = N(b)²D (В), где N(b) - норма идеала b. Д. D(В)совпадает с нормой дифференты кольца Внад А.

Лит.:[1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966; [3] 3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [4] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947.

В. Л. Попов.

4) Д. алгебры - Д. симметричной билинейной формы ( х, у)=Т( ху), где х, у- элементы конечномерной ассоциативной алгебры Анад полем F, а Т(а)- главный след элемента определяемый следующим образом. Пусть e₁, . . ., е _n- к.-л. базис алгебры A, Ф = F(x₁, ..., x_n) - чисто трансцендентное расширение поля Fс помощью алгебраически независимых элементов x₁, ... ,x_n, - соответствующее скалярное расширение алгебры А, тогда элемент x⁼x₁e₁+....+x_n е _n ОA _Ф наз. общим элементом алгебры А, а минимальный многочлен (над Ф) элемента х- минимальным многочленом алгебры А. Пусть

- минимальный многочлен алгебры А; коэффициенты m_i(x). оказываются на самом деле многочленами из F[x₁, ... , x_n]. Если - произвольный элемент из A, то т ₁(a₁, ... , a_n)= Т(а)наз. главным следом элемента a, m_r(a₁, . .. ,a _п)=N (а)- главной нормой, а многочлен g(t;a₁ , ... ,a_n).- главным многочленом. Коэффициенты главного многочлена для данного элемента не зависят от выбора базиса, поэтому упомянутая выше билинейная форма ( х, у )на Аопределена инвариантно, в то время как ее Д. определен с точностью до мультипликативного множителя, являющегося квадратом ненулевого элемента из F. Алгебра Асепарабельна (см. Сепарабельная алгебра )тогда и только тогда, когда ее Д. отличен от нуля.

Лит.:[1] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947.

Е. Н. Кузьмин.