ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА

- 1) Д. т. в теории диофантовых приближений: для любого действительного числа а и натурального Qсуществуют целые о и q, удовлетворяющие условию

Дирихле принцип"ящиков" позволяет доказать и более общую теорему: для любых действительных чисел a₁, . . ., a_n и натурального Q>1 существуют такие целые q>0, а ₁, . .., а _п, что

Лит.:[1] Касселс Дж. В. С, Введение в теорию диофантовых приближений, пер. с англ., М., 1981.

В. И. Берник.

2) Д. т. о единицах - теорема, описывающая структуру мультипликативной группы единиц в порядках полей алгебраич. чисел; получена П. Г. Л. Дирихле (см. [1]).

Каждое поле алгебраич. чисел Кстепени пнад полем рациональных чисел Qимеет празличных изоморфизмов в поле комплексных чисел С. Если при изоморфизме образ поля содержится в поле действительных чисел, то этот изоморфизм наз. вещественным; в противном случае он наз. комплексным. Наряду с каждым комплексным изоморфизмом а имеется сопряженный к нему комплексный изоморфизм

определяемый равенством

Таким образом число пможно представить в виде n = s+2t, где s - число вещественных, а 2t - число комплексных изоморфизмов поля Кв поле С.

Теорема Дирихле: в произвольном порядке Аполя алгебраич. чисел Кстепени n=s+2t существует r=s+t-1 единиц e₁, . . ., e_r таких, что всякая единица однозначно представима в виде произведения

где s₁, . . ., s_r - целые числа, а z - некоторый корень из 1, содержащийся в А. Единицы e₁, . . ., e_r, существование к-рых устанавливается Д. т. наз. основными единицами порядка А. В частности, основные единицы максимального порядка Dполя К, совпадающего с кольцом всех целых чисел поля К, наз. обычно основными единицами поля алгебраических чисел К.

Лит.:[1] Diriсhlet P. G. L., Werke, Bd 1, В., 1889; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.

С. А. Степанов.,

3) Д. т. о простых числах в арифметической прогрессии: каждая арифметич. прогрессия, первый член и разность которой - натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел. Фактически П. Дирихле доказал (см. [1]), что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l, k

где суммирование ведется по всем простым числам рс условием p=l(mod k), а j(k) - функция Эйлера. Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов l(mod k), поскольку

где суммирование ведется по всем простым числам.

Пусть x>1 - целое, p(х; l, k)- число простых р<х с условием p=l(mod k), где 0<l<k, l и k- взаимно просты. Тогда

где оценка остаточного члена равномерна по всем при любом фиксированном А>0, с=с (А)>0 - величина, зависящая только от А(неэффективно). Это современная форма Д. т., непосредственно показывающая характер распределения простых чисел р=l(mod k) в натуральном ряде чисел. Существует предположение (расширенная гипотеза Римана), что при фиксированных взаимно простых l и k и любых целых x>1

где e>0 - произвольно, а О - величина, зависящая от kи е.

Лит.:[1] Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.-Л., 1936; [2] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [3] Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975.

В. Г. Спринвжуп.

4) Д. т. о рядах Фурье: если функция f(x)периода 2p кусочно монотонна на отрезке [-p, p] и имеет на нем не более, чем конечное число точек разрыва, т. е. выполнены так называемые условия Дирихле, то ее тригонометрич. ряд Фурье сходится к f(x)в каждой точке непрерывности и к [f(x+0)+ +f(х-0)]/2 в каждой точке разрыва. Доказана впервые П. Дирихле [1]. На функции ограниченной вариации Д. т. обобщил К. Жордан [3].

Лит.:[1] Diriсhlet P. G. L., "J. Math.", 1829, Bd 4, S. 157-69; [2] его же, Werke, Bd 1, В., 1889; [3] Jordan С, "С. г. Acad. sci.", 1881, t. 92, № 5, p. 228-30; [4] Бари H. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [5] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., М., 1965.

Т. П. Лукашенко.