АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС это:

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС

класс однотипных алгебраических систем. Все системы любого данного типа предполагаются записанными в определенной сигнатуре и наз. -системами. Класс -систем наз. абстрактным, если он содержит вместе с каждой своей системой и все изоморфные ей -системы.

Пусть - абстрактный класс -систем. Говорят, что -система обладает локальной совокупностью -подсистем, если существует направленное по включению множество подсистем системы , к-рые покрывают систему (т. е. ) п принадлежат классу,. Класс наз. локальным, если каждая -система , обладающая локальной совокупностью -подсистем, принадлежит классу . Теоремы, устанавливающие локальность тех или иных абстрактных классов, принято наз. локальными (см. Мальцева локальные теоремы).

-система наз. -аппроксимируемой (или -резидуальной), если для любого предиката (т. е. для любого основного предиката, а также для предиката, совпадающего с отношением равенства в ) и для любых элементов а 1 . . ., а п из , для к-рых , существует гомоморфизм : системы в нек-рую систему нз класса , при к-ром снова Любая подсистема -аппроксимируемой системы сама -аппроксимируема. Если - класс всех конечных fi-систем, то -аппроксимируемая система наз. финитно аппроксимируемой (или резидуально конечной). Если абстрактный класс обладает единичной системой , то -система -аппроксимируема тогда и только тогда, когда она изоморфно вложнма в декартово произведение систем из класса (см. [3]). Класс наз. резидуальным, если всякая -аппроксимируемая система принадлежит классу . Класс наз. гомоморфно замкнутым, если он содержит с каждой своей -системой п все -системы, являющиеся гомоморфными образами системы . Всякий резидуальный гомоморфно замкнутый класс - локальный (см. [5]).

Класс -систем наз. (конечно) аксиоматизируемым, если существует такая (конечная) совокупность замкнутых формул 1-й ступени сигнатуры , что состоит из тех и только тех -систем, в к-рых истинны все формулы из .

Конечно аксиоматизируемые классы наз. иначе элементарными классами. При помощи обобщенной гипотезы континуума доказано (см. [5]), что: 1) А. с. к. аксиоматизируем, тогда и только тогда, когда он замкнут относительно ультрапроизведений и его дополнение (в классе всех -систем) замкнуто относительно ультра-степеней; 2) А. с. к. элементарен тогда ц только тогда, когда он и его дополнение замкнуты относительно ультрапроизведений. Теория аксиоматизируемых А. с. к. изучает связи между структурными свойствами рассматриваемых классов и синтаксич. особенностями формального языка, на к-ром эти классы могут быть заданы. Среди аксиоматизируемых классов особенно важную роль в алгебре играют многообразия (см. Алгебраических систем многообразие).и квазимногообразия (см. Алгебраических систем квазимногообразие), к-рые локальны и резидуальны.

Наряду с аксиоматизируемостью замкнутыми формулами 1-й ступени рассматривают также аксиоматизируемость при помощи специальных замкнутых формул 2-й ступени. К сигнатурным функциональным и предикатным символам фиксированной сигнатуры присоединяют предикатные переменные , Пусть - бескванторная формула 1-й ступени, составленная из сигнатурных функциональных и предикатных символов, предикатных переменных и предметных переменных Формула 2-й ступени , где - нек-рая последовательность кванторов вида или , наз. крипто универсально и. Формула 2-й ступени, образованная из криптоуниверсальных формул без свободных предметных переменных при помощи ло-гич. связок с последующим навешиванием квантора всеобщности на все свободные предикатные переменные, встречающиеся в записях криптоуниверсальных формул, наз. булево-универсальной формулой сигнатуры . Класс -систем наз. квазиунпверсальным, если существует такая совокупность булево-универсальных формул сигнатуры , что состоит из тех и только тех -систем, в к-рых истинны все формулы из . Квазиуниверсальный класс -систем локален (теорема Мальцева). Имеется более сложное определение квазиуниверсального класса, данное А. И. Мальцевым [4].

Лит.:[1]Мальцев А. И., "Уч. зап. Ивановен, гос. пед. ин-та", 1941, т. 1, в. 1, с. 3-9; [2] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1959, т. 23,№ 3, с. 313-36; [3] его же, Алгебраические системы, М., 1970; [4] его же, в кн.: Тр. четвертого весе, матем. съезда. Ленинград, 1961, т. 1, Л., 1963; Г5] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [6] С1еavе J. P., "J. London Math. Soc.", 1969, v. 44, pt 1, № 173, p. 121-30. Д. М. Смирнов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры и, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е. формул вида где к. л. предикатный символ из или знак равенства, а термы сигнатуры Q от предметных переменных А. с. м. наз. иначе э к,… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ — класс алгебраич. систем ( систем), аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич. языка 1 й ступени, к рые наз. квазитождествами, или условными тождествами, и имеют вид: где термы сигнатуры от предметных переменных . В силу теоремы… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИМИТИВНЫЙ КЛАСС — алгебраических систем то же, что многообразие (см. Алгебраических систем многообразие) …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — множество с определенными на нем операциями и отношениями. А. с. принадлежат к числу основных математич. структур и имеют глубоко разработанную общую теорию, сформировавшуюся в начале 50 х гг. 20 в. на грани между алгеброй и математич. логикой.… …   Математическая энциклопедия

  • СВОБОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — свободный объект в нек ром классе алгебраич. систем. Пусть непустой класс алгебраич. систем (см. Алгебраических систем класс). Система Рназ. свободной в классе , или свободной, если она принадлежит классу и обладает таким множеством Xпорождающих …   Математическая энциклопедия

  • ГРУПП МНОГООБРАЗИЕ — класс всех групп, удовлетворяющих фиксированной системе тождественных соотношений где vпробегает нек рое множество Vгрупповых слов, т. е. элементов свободной группы X со свободными образующими x1,..., xn ... . Как и всякое алгебраических систем… …   Математическая энциклопедия

  • КОЛЕЦ МНОГООБРАЗИЕ — класс колец M, удовлетворяющих заданной системе полиномиальных тождеств. К. м. можно определить аксиоматически, как наследственный класс алгебр, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и полных прямых сумм (см. Алгебраических систем… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУГРУПП МНОГООБРАЗИЕ — класс полугрупп, задаваемый системой тождеств (см. Алгебраических систем многообразие). Всякое П. м. будет либо периодическим, т. е. состоит из периодич. полугрупп, либо надкоммутативным, т …   Математическая энциклопедия

  • УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР МНОГООБРАЗИЕ — класс универсальных алгебр, определяемый системой тождеств (ср. Алгебраических систем многообразие). У. а. м. характеризуется как непустой класс алгебр, замкнутый относительно факторалгебр, подалгебр и прямых произведений. Последние два условия… …   Математическая энциклопедия

  • Универсальная алгебра — Не следует путать с универсальной алгеброй  одним из видов структур, изучаемых данным разделом математики. Универсальная алгебра  раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, отыскивая общие черты между такими… …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»