АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА это:

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА

группа G, наделенная структурой алгебраического многообразия, в к-рой умножение и переход к обратному элементу являются регулярными отображениями (морфизмами) алгебраич. многообразий. А. г. наз. определенной над полем , если ее алгебраич. многообразие, а также морфизм и определены над В этом случае множество -рациональных точек многообразия Gявляется абстрактной группой, к-рая обозначается . А. г. наз. связной, если ее алгебраич. многообразие связно. Размерностью А. г. наз. размерность ее алгебраич. многообразия. В дальнейшем рассматриваются только связные А. г. Подгруппа H А. г. G наз. алгебраической, если она является замкнутым подмногообразием алгебраич. многообразия G. Для таких подгрупп пространство классов смежности (левых или правых) может быть естественным образом наделено структурой алгебраич. многообразия, обладающей универсальным свойством (см. Фактор-пространство алгебраической группы). Если подгруппа H, кроме того, нормальна, то факторгруппа является А. г. относительно указанной выше структуры; она наз. алгебраической факторгруппой. Гомоморфизм А. г. наз. алгебраическим, если - морфизм их алгебраич. многообразий; если определен над , то он наз. -гомоморфизмом. Аналогично определяется k- изоморфизм А. г.

Примеры А. г.: полная линейная группа - группа всех обратимых матриц порядка пс коэффициентами в фиксированном алгебраически замкнутом поле k, группа треугольных матриц, эллиптическая кривая.

Существуют два основных типа А. г., совершенно различных по своим свойствам: абелевы многообразия и линейные алгебраические группы;при этом принадлежность А. г. к одному из этих типов определяется исключительно свойствами многообразия группы. А. г. наз. абелевым многообразием, если ее алгеб-раич. многообразие полное. А. г. наз. линейной А. г., если она изоморфна алгебраич. подгруппе полной линейной группы. А. г. является линейной тогда и только тогда, когда ее алгебраич. многообразие аффинно. Эти два класса А. г. имеют тривиальное пересечение: если А. г. есть одновременно абелево многообразие и линейная группа, то она единичная группа. Изучение произвольных А. г. в значительной степени сводится к изучению абелевых многообразий и линейных групп. Именно, в произвольной А. г. существует единственная нормальная линейная алгебраич. подгруппа Нтакая, что факторгруппа G/Hесть абелево многообразие. Многочисленные примеры А. г., не являющихся ни линейными А. г., ни абелевыми многообразиями, дает теория обобщенных Якоби многообразий для алгебраич. кривых с особенностями (см. [4]). Естественное расширение класса алгебраич. групп приводит к понятию групповой схемы.




Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ — алгебраическая группа G, действующая регулярно на алгебраич. многообразии V. Точнее, А. г. п. есть тройка морфизм алгебраич. многообразий, удовлетворяющий условиям: для всех и g, (е единица G). Если определены над полем k, то наз. алгебраич.… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА — алгебраическая группа, бирационально изоморфная алгебраич. подгруппе полной линейной группы. Алгебраич. группа Gлинейна тогда и только тогда, когда алге браич. многообразие Gаффинно, т. е. изоморфно замкнутому (в топологии Зариского)… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА — связная линейная алгебраич. группа положительной размерности, содержащая лишь тривиальные разрешимые (или, что равносильно, абелевы) связные замкнутые нормальные подгруппы. Факторгруппа связной неразрешимой линейной алгебраич. группы по радикалу… …   Математическая энциклопедия

  • ДИАГОНАЛИЗИРУЕМАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА — аффинная алгебраич. группа G, изоморфная замкнутой подгруппе алгебраического тора. Таким образом, Gизоморфна замкнутой подгруппе мультипликативной группы всех диагональных матриц нек рого фиксированного порядка. Если Gопределена над полем k и… …   Математическая энциклопедия

  • Группа Галуа — Группа Галуа  алгебраическая группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году. Содержание 1 Определение 2… …   Википедия

  • Алгебраическая система — (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре  множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений… …   Википедия

  • Алгебраическая топология — Алгебраическая топология (устаревшее название: комбинаторная топология) раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т.д.) а также поведение этих объектов под… …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ K-ТЕОРИЯ — раздел алгебры, к рый в основном занимается изучением К функторов по существу это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощенно, это обобщение результатов о… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ — область математики, возникшая для изучения таких свойств гео метрич. фигур (в широком смысле любых объектов, где можно говорить о непрерывности) и их отображений друг в друга, к рые не меняются при непрерывных деформациях (гомотопиях). В принципе …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Конечная группа, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Конечная группа — алгебраическая группа, содержащая… Подробнее  Купить за 998 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»