Натуральное исчисление это:

Натуральное исчисление
        исчисление естественного вывода, натуральная дедукция, общее название логических исчислений, введённых и изученных в 1934 немецким логиком Г. Генценом (и независимо польским логиком С. Яськовским) с целью формализации процесса логического вывода, как можно более точно воспроизводящей структуру обычных содержательных рассуждений, а также для решения ряда важных задач метаматематики (См. Метаматематика) (в том числе для доказательства непротиворечивости (См. Непротиворечивость) арифметики натуральных чисел). Основным объектом Н. и. можно считать отношение (формальной) выводимости, обозначаемое символом ⊢, обладающее, по определению, свойством А — произвольное высказывание, выраженное формулой Н. и.) и удовлетворяющее следующим «структурным» правилам вывода (См. Правило вывода) (здесь и в дальнейшем в записи правил под горизонтальной чертой помещается выводимость, получаемая в предположении, что дана выводимость, записанная над чертой; прописные латинские буквы обозначают произвольные формулы, а греческие буквы — последовательности формул):
        
         (разрешение усилить посылки), (разрешение опускать одну из совпадающих посылок), (разрешение переставлять посылки). В различных формулировках Н. и. вид и число структурных правил различны; например, понимая под Д и Г не последовательности, а просто конечные множества (неупорядоченные) формул, можно обойтись без правил перестановки посылок; обычное соглашение, что каждый элемент входит в него лишь один раз, делает ненужным правило сокращения повторяющихся посылок, и т.п. Кроме того, в Н. и. входят логические правила вывода, регламентирующие процедуру введения и удаления (устранения, исключения) символов логических операций и описывающие (как и аксиомы «обычных» логических исчислений; см., например, Логика высказываний) свойства этих операций. Вот правила классического Н. и. высказываний:
         Введение
        
        (так называемая «теорема о дедукции», см. Дедукция)
        
        (reductio ad absurdum, или приведение к нелепости, см. Доказательство от противного) Удаление
         (так называемое доказательство разбором случаев)
        (так называемое доказательство разбором случаев)
         (modus ponens, или схема заключения)
        (modus ponens, или схема заключения)
        
        (так называемый закон снятия двойного отрицания). (В скобках указана Интерпретация некоторых правил в терминах традиционной логики; интерпретация остальных правил — та же, что у соответствующих аксиом обычного исчисления высказываний, перефразировками которых они являются.) Добавление к этому списку соответствующих правил введения и удаления для Кванторов приводит к Н. и. предикатов. Замена правила Противоречия принцип) приводит к интуиционистскому (конструктивному) Н. и. высказываний (а с подходящими изменениями в кванторных правилах — к интуиционистскому Н. и. предикатов; см. Математический интуиционизм, Конструктивное направление).
         Доказательство в Н. и. — это, как обычно, вывод из пустого множества посылок. В формулировках Н. и., подобных приведённой, в которых нет аксиом (кроме, быть может, А
         Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, §§ 20, 23; Генцен Г., Исследования логических выводов, пер. с. нем., в кн.: Математическая теория логического вывода, М., 1967; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969. См. также лит. при ст. Правило вывода.
         Ю. А. Гастов.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Натуральное исчисление" в других словарях:

  • НАТУРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — (исчисление естественного в ы в о д а) – общее название логич. исчислений [введенных и впервые описанных нем. логиком и математиком Г. Генценом (1934) и польским логиком С. Яськовским (1934) с целью формализации процесса логич. вывода ], более… …   Философская энциклопедия

  • ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ —         исчисление предложений, формализованная система, в крой задаётся способ доказательства некоторых высказываний (формул), наз. теоремами. И. в. может быть формализовано различными способами: с помощью задания аксиом и правил вывода, т. е.… …   Философская энциклопедия

  • Логическое исчисление —         Исчисление (формальная система), интерпретируемое в терминах какого либо фрагмента дедуктивной логики (См. Логика). Различные Л. и. служат базой для построения более богатых «нелогических» (например, математических) теорий. Примерами Л. и …   Большая советская энциклопедия

  • ПРЕДИКАТОВ ИСЧИСЛЕНИЕ — общее название исчислений математической логики, являющихся формализацией тех разделов совр. логики, к рые изучают субъектно предикатную структуру предложений (высказываний), понимаемую в более широком, чем в традиц. логике, смысле: помимо теории …   Философская энциклопедия

  • Интегральное исчисление — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Интегрально …   Википедия

  • Предельное исчисление — Предел последовательности Основная статья: Предел последовательности Число a называется пределом последовательности x1,x2,...,xn,... если для любого ε > 0 существует N, такое что n>N, | xn − a | < ε. Предел последовательности… …   Википедия

  • ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ — раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно …   Философская энциклопедия

  • ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА — наука, занимающаяся анализом структуры высказываний и доказательств, обращающая основное внимание на форму в отвлечении от содержания. Определение «формальная» было введено И. Кантом с намерением подчеркнуть ведущую особенность Ф.л. в подходе к… …   Философская энциклопедия

  • ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ЛОГИКА —         логика, в которой приемлемыми считаются рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А ложно» есть лишь иная форма выражения «не А», в П. л. отказываются от любых способов… …   Философская энциклопедия

  • ФОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА — неинтерпретированное исчисление, класс выражений (формул) к рого задается обычно индуктивно – посредством задания исходных ( элементарных , или атомарных ) формул и правил образования (построения) формул, а подкласс доказуемых формул (теорем) –… …   Философская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»