Предельное исчисление

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Число a называется пределом последовательности x₁,x₂,...,x_n,... если для любого ε > 0 существует N, такое что $\forall$n>N, | x_n − a | < ε. Предел последовательности обозначается $\lim_n x_n$. Куда именно стремится n, можно не указывать, поскольку если это натуральное число, то оно может стремиться только к $+\infty$.

Свойства:

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• $\lim_n c = c$
• $\lim_n (x_n + y_n) = \lim_n x_n + \lim_n y_n$ (если оба предела существуют)
• $\lim_n (q x_n) = q \lim_n x_n$
• $\lim_n (x_n y_n) = \lim_n x_n \lim_n y_n$ (если оба предела существуют)
• $\lim_n (x_n / y_n) = \lim_n x_n / \lim_n y_n$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если $a_n &amp;gt; x_n &amp;gt; b_n \forall n$ и $\lim_n a_n = \lim_n b_n$ , то $\lim_n x_n = \lim_n a_n = \lim_n b_n$ (теорема «о двух милиционерах»)

Предел функции

Основная статья: Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если $\forall \epsilon &amp;gt; 0$ существует δ > 0, такое что $\forall x, 0 &amp;lt; |x-a| &amp;lt;\delta$ выполняется | f(x) − b | < ε.

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например $\lim_{x\to x_0} (f(x)+ g(x))= \lim_{x\to x_0} f(x)+ \lim_{x\to x_0} g(x)$, если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть X — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U(например метрическое пространство). Пусть $x_i \in X$ — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что $x \in X$ есть предел этой последовательности, если в любой окретности точки x лежат почти все члены последовательности то есть $\forall U(x) \exist n \forall i&amp;gt;n x_i \in U(x)$