Ячейки Бенара

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Ячейки Бенара в гравитационном поле.

Ячейки Бенара или Рэлея — Бенара — возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, то есть равномерно подогреваемой снизу.

Ячейки Рэлея — Бенара являются одним из трёх стандартных примеров самоорганизации, наряду с лазером и реакцией Белоусова — Жаботинского.

Управляющим параметром самоорганизации служит градиент температуры. Вследствие подогрева в первоначально однородном слое жидкости начинается диффузия из-за возникшей неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента, диффузия не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестеренки)^[1]. При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос, что отчетливо видно на бифуркационной диаграмме или дереве Фейгенбаума.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки^[2]. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони, возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.

Аналитическое решение задачи (задача Рэлея)

Важным в задаче о конвекции в плоском слое является тот факт, что для записи её в приближении Буссинеска возможно получить точное аналитическое решение уравнений гидродинамики. Правда, простое точное решение удаётся найти лишь при абстрактной постановке с двумя свободными недеформируемыми границами слоя (как сверху, так и снизу), более реалистичные варианты таких решений не имеют (но для них хорошо работают приближённые аналитические методы, например метод Галёркина).

Приведём здесь решение задачи^[3],^[4]. Примем, что ось z направлена вверх, перпендикулярно слою, оси x и y параллельны границе. Начало координат удобно выбрать на нижней границе слоя. Исходные уравнения конвекции:

$\frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v = - \frac{1}{\rho_0} \nabla p + \nu \Delta \vec v - \beta T \vec g,$

$\frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T,$

$\operatorname{div} \vec v = 0.$

Безразмерная форма уравнений конвекции для малых возмущений равновесия, в предположении экспоненциального роста возмущений во времени (т. н. «Нормальные» возмущения) — $\vec v, \theta \sim e^{\lambda t}$:

$\frac{ \lambda }{Pr} \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + \vec v \cdot \vec e_z,$

$\operatorname{div} \vec v = 0,$

где $\vec e_z$ — единичный вектор оси z, $Pr, Ra$ — соответственно число Прандтля и число Рэлея, $\lambda$ — инкремент (скорость роста) возмущений. После обезразмеривания переменная z изменяется от 0 до 1. Т. н. «Нормальные» возмущения являются частными решениями линейной системы дифференциальных уравнений, и поэтому находят широкое применение при исследовании задач в самых различных областях.

Постановка граничных условий производится в предположении, что обе границы недеформируемые, но свободные — при этом отсутствуют касательные напряжения в жидкости. Граничные условия:

$\vec v \cdot \vec e_z = 0$, — недеформируемость границ.

$\sigma_{xz} = \sigma_{yz} = 0$, — отсутствие касательных напряжений. Так как считаем, что работаем с жидкостью, для которой справедливо уравнение Навье — Стокса, то можем явно записать вид тензора вязких напряжений и получить граничные условия для компонент скорости.

$\sigma_{ij}=\eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right)$ — закон Навье,

Принимая обозначения для компонент скорости: $\vec v = \left\{ u,v,w \right\}$, перепишем гран.условие для касательных напряжений в терминах скорости:

$\frac{ \partial u}{ \partial z} = 0,$

$\frac{ \partial v}{ \partial z} = 0$.

Для возмущений температуры на границе принимается нулевое значение. В итоге, система гран.условий задачи такова:

$z=0,1:$

$w=0; \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial v}{\partial z} = 0; \theta = 0$

Теперь, предполагая возмущения нормальными по пространству — $\vec v, p, \theta \sim e^{\lambda t} e^{i \vec k \cdot \vec r}$ (здесь $\vec k$ — волновой вектор возмущения, параллельный плоскости $xy$) и заменяя операторы дифференцирования — $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial z^2} - k^2, \nabla = \left\{ i \vec k; \frac{\partial}{\partial z} \right\}$, можем переписать систему уравнений конвекции в виде системы ОДУ:

$\frac{ \lambda }{Pr} \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + w,$

$\operatorname{div} \vec v = 0.$

Взяв двойной ротор от первого уравнения и спроектировав его на ось z, получим окончательную систему уравнений для возмущений:

$\frac{\lambda}{Pr} \Delta w = \Delta^2 w + k^2 Ra \theta,$

$\lambda \theta = \Delta \theta + w.$

Исходя из граничных условий, а также из того, что все производные в системе чётного порядка, удобно представить решение в виде тригонометрических функций:

$w = a \sin n \pi z,$

$\theta = b \sin n \pi z,$

где n — целое число. Решение в виде синусов удовлетворяет сразу всем граничным условиям.

Типичная нейтральная кривая для задачи конвекции в плоском слое

Далее, обозначая $D = n^2 \pi^2 + k^2$, и подставляя предполагаемый вид решения в уравнения, получим линейную однородную алгебраическую систему для a, b. Из её определителя можно выразить зависимость $Ra(\lambda)$:

$Ra(\lambda) = \frac{1}{Pr k^2} \left( D \lambda^2 + D^2 (1 + Pr) \lambda + Pr D^3 \right)$

Полагая здесь $\lambda = 0$ — граница монотонной устойчивости, невозрастание нормальных возмущений — получим формулу для определения критического числа Рэлея n-ой моды возмущений:

$Ra^* = \frac{(k^2 + n^2 \pi^2)^3}{k^2}.$

Наименьшее число Рэлея получится при $n=1$. Минимум зависимости, как несложно убедиться, приходится на $k = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$, а само минимальное число Рэлея равно $Ra^* = \frac{27}{4} \pi^4 \approx 657$. В соответствии с критическим волновым числом в слое возникают структуры в виде валов ширины $\sqrt{2}$ (в безразмерных единицах).

Для задач с другими вариантами границ критическое число Рэлея оказывается выше. К примеру, для слоя с двумя твёрдыми границами оно равно 1708^[5], для слоя с твёрдой верхней и свободной нижней границами — 1156, меняются и критические волновые числа. Однако качественно картина конвективных валов не изменяется.

Литература

• L.E.Scriven & C.V.Sternling «Эффекты Марангони»

Примечания

1. ↑ Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 84, рис. 139—140
2. ↑ Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 85, рис. 140—141
3. ↑ Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1972 — § 5
4. ↑ Фрик П. Г. Турбулентность: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 // Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 — с. 33-37
5. ↑ Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., там же, § 6

См. также

• Самоорганизация
• Конвекция
• Приближение Буссинеска

Ссылки

• Альбом течений жидкости и газа. ИМ МГУ