Задача Минковского

Задача Минковского:

существует ли замкнутая выпуклая гиперповерхность $F$, у которой гауссова кривизна $G(n)$ является заданной функцией единичного вектора внешней нормали $n$.

Поставлена Минковским, которому принадлежит обобщённое решение задачи в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности $F$, даже если $G(n)$ — аналитическая функция. Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере $S$ непрерывная положительная функция $G(n)$ удовлетворяет условию

$\int\limits_{S}\frac n{G(n)}ds = 0,$

то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая поверхность $F$, для которой $G(n)$ является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью $n$.

Регулярное решение задачи Минковского дано А. В. Погореловым в 1971 году. В частности, он доказал, что если $K(n)$ принадлежит классу $C^m$, $m\ge3$, то получаемая поверхность $F$ принадлежит классу гладкости $C^{m+1,\alpha}$, а в случае аналитичности $K(n)$ поверхность $F$ также оказывается аналитической.

Вариации и обобщения

• Существует обобщение задачи Минковского для риманова пространства^[1].

См. также

• Теорема Минковского о многогранниках

Литература

1. ↑ Bodrenko A.I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Arxiv.org, 2007.

• Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
• Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
• Буземан Г., Выпуклые поверхности, пер. с англ.. М., 1964.