Корневое подпространство

Корневое подпространство
Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Содержание

Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора

Пусть L — линейное пространство над полем K,  A\colon L \to L  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор  x \in L , что для некоторого  \lambda \in K

Ax = λx

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число  \lambda \in K , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение  x \in L .

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа  \lambda \in K называется множество всех собственных векторов  x \in L , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Eλ. По определению,

 E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot E)

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения  \lambda \in K называется такой ненулевой вектор  x \in L , что для некоторого натурального числа m

 (A-\lambda \cdot E)^m x =0

Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть (A-\lambda \cdot E)^{m-1} x \neq 0 ), то m называется высотой корневого вектора x.

Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа  \lambda \in K называется множество всех корневых векторов  x \in L , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Vλ. По определению,

 V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot E)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda},

где  V_{m,\lambda}= \ker(A-\lambda \cdot E)^m

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство V \subset L называется инвариантным подпространством линейного преобразования A (A-инвариантным подпространством), если

AV \subseteq V.
  • Собственные подпространства Eλ, корневые подпространства Vλ и подпространства Vm линейного оператора A являются A-инвариантными.
  • Собственные векторы являются корневыми (высоты 1):  E_{\lambda} \subseteq V_{\lambda} ;
  • Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
A= \begin{pmatrix} 1&  1\\ 0&1\end{pmatrix}
(A − 1)2 = 0, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
  • Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
 V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\} если  \lambda \neq \mu .

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в n-мерном линейном пространстве L, можно сопоставить линейному преобразованию  A\colon L \to L квадратную  n\times n матрицу и определить для неё характеристический многочлен

 P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot E) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k.
  • Характеристический многочлен не зависит от базиса в L. Его коэффициенты являются инвариантами оператора A. В частности, a_0 = \det\,A, a_{n-1} = \operatorname{tr}\, A не зависят от выбора базиса.
  • Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
  • Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей

 P_A(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda - \lambda_i )
где  \lambda_i \; (i=1,\ldots,n ) — собственные значения; некоторые из λi могут быть равны. Кратность собственного значения λi — это число множителей равных λ − λi в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).
  • Размерность корневого пространства V_{\lambda_i} равна кратности собственного значения.
  • Векторное пространство L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):
 L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}
где суммирование производится по всем λi — собственным числам A.
  • Геометрическая кратность собственного значения λi — это размерность соответствующего собственного подпространства  E_{\lambda_i} ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку  E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i}

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор A, коммутирующий со своим сопряжённым A * :

AA * = A * A.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (A = A * ), антиэрмитовы операторы (A = − A * ) и унитарные операторы (A − 1 = A * ), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

  • Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.
  • Собственные векторы нормального оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если Ax = λx, Ay = μy и \lambda \neq \mu, то (x,y) = 0. (Для произвольного оператора это неверно.)
  • Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
  • Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
  • Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности | λ | = 1.
  • В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора A\colon \C^n \to \C^n, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
 L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i},
где суммирование производится по всем λi — собственным числам A, а  E_{\lambda_i} взаимно ортогональны для различных λi.
  • Последнее свойство для нормального оператора над \C является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная n \times n матрица A = (aij) называется положительной, если все её элементы положительны: aij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор er, все координаты которого строго положительны. Вектор er — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор er может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v0 с положительными координатами. Положим:

v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}

Последовательность vk сходится к нормированному собственному вектору e_r / \|e_r\|.

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
  • Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Корневое подпространство" в других словарях:

  • КОРНЕВОЙ ВЕКТОР — линейного преобразования Авекторного пространства Vнад полем k вектор , лежащий в ядре линейного преобразования где п целое положительное число, зависящее от Аи v. Число l будет непременно собственным значением преобразования A. Если при этом то… …   Математическая энциклопедия

  • ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОДАЛГЕБРА — подалгебра конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем, содержащая какую либо подалгебру Бореля, т. е. максимальную разрешимую подалгебру алгебры . Если конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k, то ее подалгебра наз. П. п …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли, не имеющая ненулевых разрешимых идеалов (см. Ли разрешимая алгебра). В дальнейшем рассматриваются конечномерные Ли п. а. над полем kхарактеристики 0 (о Лн п. а. над полем ненулевой характеристики см. Ли алгебра). Полупростота… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»