Кардано формула

Формула Кардано — формула для нахождения корней кубического уравнения вида

y³ + py + q = 0

над полем комплексных чисел.

К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение

ax³ + bx² + cx + d = 0

при помощи следующей замены:

$x=y-\frac b{3a}$

$p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$

Формула

Формула Кардано имеет вид:

$y_1=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

$y_2=\epsilon\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\epsilon^2\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

$y_3=\epsilon^2\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\epsilon\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

где

$\epsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \Delta=-27q^2-4p^3$

Δ − есть дискриминант многочлена y³ + py + q. Применяя эту формулу, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

$\alpha=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

брать то значение корня

$\beta=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}},$

для которого выполняется условие αβ = − p / 3 (такое значение корня β всегда существует).

Вывод  

Формулу можно получить, если предположить что значение корня представляется в виде суммы двух величин x = α + β, тогда, раскрывая скобки, получаем:

α³ + β³ + (3αβ + p)(α + β) + q = 0

Основная идея — приравнять нулю выражение 3αβ + p. Тогда мы приходим к системе

$\left\{\begin{matrix}3\alpha\beta+p=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

которая равносильна системе

$\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27} \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней α³ и β³ квадратного уравнения.