- Знакопеременный ряд
-
Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:
Признак Лейбница
Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:
Пусть для ряда
выполняются следующие условия:
- знакочередование (например:
)
- an + 1 < an (монотонное убывание {an})
.
Тогда этот ряд сходится.
Замечание: Если, выполнены все условия, и ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно.
Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.
- Пример
. Ряд из модулей иммет вид
- это гармонический ряд, который расходится.
Теперь воспользуемся признаком Лейбница:
- знакочередование выполнено
.
Следовательно, т.к. все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.
Оценка остатка ряда Лейбница
Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда rn является также рядом Лейбница, то для него справедливо:
.
Wikimedia Foundation. 2010.