Египетская дробь

Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида $\frac{1}{n}$ (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой положительное целое число. Пример: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{16}$.

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Сумма такого типа использовалась математиками как определение для дробей начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории древней математики.

Древний Египет

Дополнительную инофрмацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

$= \frac{1}{3}$

$= \frac{1}{10}$

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

$= \frac{1}{2}$

$= \frac{2}{3}$

$= \frac{3}{4}$

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комибинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:

$= \frac{1}{331}$

При этом "рот" помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Современная теория чисел

Открытые проблемы

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Пер. И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.–Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181–191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269–282.
• Beeckmans, L. (1993). "The splitting algorithm for Egyptian fractions". Journal of Number Theory 43: 173–­185.
• Botts, Truman (1967). "A chain reaction process in number theory". Mathematics Magazine: 55–65.
• Breusch, R. (1954). "A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512". American Mathematical Monthly 61: 200–­201.
• Bruins, Evert M. (1957). "Platon et la tabl égyptienne 2/n". Janus 46: 253–263.
• An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953. — ISBN 0-03-029558-0
• Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982. — ISBN ISBN 0-486-24315-X
• Graham, R. L. (1964). "On finite sums of reciprocals of distinct nth powers". Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85–92.
• Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
• Knorr, Wilbur R. (1982). "Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece". Historia Mathematica 9: 133–171.
• Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993. — ISBN ISBN 3-411-15461-6
• Martin, G. (1999). "Dense Egyptian fractions". Transactions of the American Mathematical Society 351: 3641–3657.
• Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969. — ISBN ISBN 0-262-13040-8
• The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990. — ISBN ISBN 0-486-26407-6
• Stewart, B. M. (1954). "Sums of distinct divisors". American Journal of Mathematics 76: 779–­785.
• Stewart, I. (1992). "The riddle of the vanishing camel". Scientific American (June): 122–­124.
• A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — С. 20–25. — ISBN ISBN 0-486-60255-9
• Takenouchi, T. (1921). "On an indeterminate equation". Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78–92.
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). "Length and denominators of Egyptian fractions". Journal of Number Theory 35: 150–­156.
• Vose, M. (1985). "Egyptian fractions". Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21.
• Mathematica in Action. — W.H. Freeman, 1991. — С. 271–­277.

Ссылки

• Дэвид Эппштейн Egyptian Fractions.
• Egyptian fractions.
• Mathematics in Egyptian Papyri (2000).
• Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Браун, Кевин RMP 2/nth table.