Равномерно темперированный строй

Равноме́рно темпери́рованный строй — музыкальный строй, при котором каждая октава делится на математически равные интервалы, чаще всего на двенадцать полутонов ($1:\sqrt[12]{2}$). Такой строй господствует в европейской профессиональной музыке приблизительно с XVIII века вплоть до нашего времени.

История

12-ступенный равномерно темперированный строй возник в обстановке поисков учёными разных специальностей «идеального» строя. Исторически предшествующий натуральный строй имел ряд недостатков — прежде всего, не позволял транспонировать и модулировать в достаточно большое количество тональностей без возникновения существенных диссонансов.

Невозможно с достоверностью указать, кто именно изобрёл равномерную темперацию. Среди первых учёных, предлагавших практические способы деления октавы на 12 равных интервалов,— Генрих Грамматеус (1518) и Винченцо Галилей (1581).

Одним из первых авторов, давших теоретическое обоснование 12-ступенной равномерной темперации, был китайский принц Чжу Цзайюй (朱載堉), в трактате 1584 года^[1][2]. В Европе примерно в то же время исследования математической задачи равномерного деления октавы проводил фламандский математик Симон Стевин. Написанный около 1585 года на его родном языке труд «О теории певческого искусства», в котором Стевин дал математически точный расчёт равномерной темперации, был опубликован спустя 300 лет, в 1884 году.

Непосредственным предшественником равномерно темперированного в Европе был «хорошо темперированный» строй — целое семейство неравномерных темпераций, тем не менее позволявших вполне успешно играть в любой из тональностей. Одним из теоретиков и пропагандистов^[3] такого строя был Андреас Веркмейстер — немецкий композитор и органист. Многие исследователи разделяют мнение, что «Хорошо темперированный клавир» Иоганна Себастьяна Баха, хорошо знакомого с работами Веркмейстера, написан для инструментов именно с такой неравномерной темперацией^[4].

Одними из первых теоретиков нового равномерно темперированного строя были В. Галилей (отец Галилео) и М. Мерсенн. У нового строя было много оппонентов^[5]. Равномерно темперированный строй нарушал строгую пропорцию интервалов, как следствие, в аккордах начали появляться небольшие биения. В глазах многих теоретиков это было посягательством на чистоту музыки. Андреас Веркмейстер^[6] утверждал, что в новом строе все аккорды (подразумевались прежде всего трезвучия) становились однообразными и симметричными, в то время как в старых строях из-за неравномерности темперации каждый аккорд имел своё неповторимое (акустическое) звучание. Однако со временем равномерная темперация завоевала признание и стала фактическим стандартом.

Вычисление частот звуков

Можно математически вычислить частоты для всего звукоряда, пользуясь формулой:

$f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12}$,

где f₀ — частота камертона (например Ля 440 Hz), а i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону f₀.

Последовательность вычисленных таким образом частот образует геометрическую прогрессию:

например, можно вычислить частоту звука на тон (2 полутона) ниже от камертона Ля — ноты соль:

$i=-2$

$f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx {391,995}\,\mathrm{Hz}$

если нам надо вычислить ноту Соль, но на октаву (12 полутонов) выше:

$i=12-2=10$

$f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx {783,991}\,\mathrm{Hz}$

Частоты двух полученных нот Соль отличаются в два раза, что дает чистую октаву. Преимущества равномерной темперации также в том, что можно произвольно транспонировать пьесу на произвольный интервал вверх или вниз.

Сравнение с натуральным строем

Равномерно темперированный строй очень легко можно отобразить в виде измерения интервалов в центах

Тон	C1	C#	D	Eb	E	F	F#	G	G#	A	B	H	C2
Цент	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Следующая таблица показывает отличия интервалов равномерно-темперированного ряда с натуральным

Интервал	Равномерно темперированные интервалы	Натуральные интервалы	Разница в центах
Прима	$\sqrt[12]{2^0} = 1 = 0\,\mathrm{Cent}$	$\frac{1}{1} = 1 = 0\,\mathrm{Cent}$	0
Малая секунда	$\sqrt[12]{2^1} = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}059463 = 100\,\mathrm{Cent}$	$\frac{16}{15} \approx 1{,}066667 \approx 111{,}73\,\mathrm{Cent}$	−11,73
Большая секунда	$\sqrt[12]{2^2} = \sqrt[6]{2} \approx 1{,}122462 = 200\,\mathrm{Cent}$	$\frac{9}{8} = 1{,}125 \approx 203{,}91\,\mathrm{Cent}$	−3,91
Малая терция	$\sqrt[12]{2^3} = \sqrt[4]{2} \approx 1{,}189207 = 300\,\mathrm{Cent}$	$\frac{6}{5} = 1{,}2 \approx 315{,}64\,\mathrm{Cent}$	−15,64
Большая терция	$\sqrt[12]{2^4} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}259921 = 400\,\mathrm{Cent}$	$\frac{5}{4} = 1{,}25 \approx 386{,}31\,\mathrm{Cent}$	13,69
Кварта	$\sqrt[12]{2^5} = \sqrt[12]{32} \approx 1{,}334840 = 500\,\mathrm{Cent}$	$\frac{4}{3} \approx 1{,}333333 \approx 498{,}04\,\mathrm{Cent}$	1,96
Тритон	$\sqrt[12]{2^6} = \sqrt{2} \approx 1{,}414214 = 600\,\mathrm{Cent}$	$\frac{45}{32} \approx 1{,}406250 \approx 590{,}22\,\mathrm{Cent}$	9,78
Квинта	$\sqrt[12]{2^7} = \sqrt[12]{128} \approx 1{,}498307 = 700\,\mathrm{Cent}$	$\frac{3}{2} = 1{,}5 \approx 701{,}96\,\mathrm{Cent}$	−1,96
Малая секста	$\sqrt[12]{2^8} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587401 = 800\,\mathrm{Cent}$	$\frac{8}{5} = 1{,}6 \approx 813{,}69\,\mathrm{Cent}$	−13,69
Большая секста	$\sqrt[12]{2^9} = \sqrt[4]{8} \approx 1{,}681793 = 900\,\mathrm{Cent}$	$\frac{5}{3} \approx 1{,}666667 \approx 884{,}36\,\mathrm{Cent}$	15,64
Малая септима	$\sqrt[12]{2^{10}} = \sqrt[6]{32} \approx 1{,}781797 = 1000\,\mathrm{Cent}$	$\frac{16}{9} \approx 1{,}777778 \approx 996{,}09\,\mathrm{Cent}$	3,91
Большая септима	$\sqrt[12]{2^{11}} = \sqrt[12]{2048} \approx 1{,}887749 = 1100\,\mathrm{Cent}$	$\frac{15}{8} = 1{,}875 \approx 1088{,}27\,\mathrm{Cent}$	11,73
Октава	$\sqrt[12]{2^{12}} = 2 = 1200\,\mathrm{Cent}$	$\frac{16}{8} = 2 = 1200\,\mathrm{Cent}$	0

Расчёт конкретных высот применительно к клавиатуре фортепиано

Примечание. Значения частот рассчитаны исходя из стандартной частоты камертона ля¹ = 440 Гц.

Субконтроктава

Охватывает звуки с частотами от 16,352 Гц (включительно) до 32,703 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 0-й

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	16,352	До2	C2	C0
2	18,354	Ре2	D2	D0
3	20,602	Ми2	E2	E0
4	21,827	Фа2	F2	F0
5	24,500	Соль2	G2	G0
6	27,500	Ля2	A2	A0
7	30,868	Си2	H2	B0

Контроктава

Охватывает звуки с частотами от 32,703 Гц (включительно) до 65,406 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 1.

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	32,703	До1	C1	C1
2	36,708	Ре1	D1	D1
3	41,203	Ми1	E1	E1
4	43,654	Фа1	F1	F1
5	48,999	Соль1	G1	G1
6	55,000	Ля1	A1	A1
7	61,735	Си1	H1	B1

Большая октава

Охватывает звуки с частотами от 65,406 Гц (включительно) до 130,81 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 2.

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	65,406	До	C	C2
2	73,416	Ре	D	D2
3	82,406	Ми	E	E2
4	87,307	Фа	F	F2
5	97,999	Соль	G	G2
6	110,00	Ля	A	A2
7	123,47	Си	H	B2

Малая октава

Охватывает звуки с частотами от 130,81 Гц (включительно) до 261,63 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 3.

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	130,81	до	c	C3
2	146,83	ре	d	D3
3	164,81	ми	e	E3
4	174,61	фа	f	F3
5	196,00	соль	g	G3
6	220,00	ля	a	A3
7	246,94	си	h	B3

Первая октава

Включает звуки с частотами от 261,63 Гц (включительно) до 523,25 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 4.

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	261,63	до1	c1	C4
2	293,67	ре1	d1	D4
3	329,63	ми1	e1	E4
4	349,23	фа1	f1	F4
5	392,00	соль1	g1	G4
6	440,00	ля1	a1	A4
7	493,88	си1	h1	B4

Вторая октава

Включает звуки с частотами от 523,25 Гц (включительно) до 1046,5 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 5.

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	523,25	до2	c2	C5
2	587,33	ре2	d2	D5
3	659,26	ми2	e2	E5
4	698,46	фа2	f2	F5
5	783,99	соль2	g2	G5
6	880,00	ля2	a2	A5
7	987,77	си2	h2	B5

Третья октава

Включает звуки с частотами от 1046,5 Гц (включительно) до 2093,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 3 (или три штриха). В научной нотации имеет номер 6.

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	1046,5	до3	c3	C6
2	1174,7	ре3	d3	D6
3	1318,5	ми3	e3	E6
4	1396,9	фа3	f3	F6
5	1568,0	соль3	g3	G6
6	1760,0	ля3	a3	A6
7	1975,5	си3	h3	B6

Четвертая октава

Включает звуки с частотами от 2093,0 Гц (включительно) до 4186,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 4 (или четыре штриха). В научной нотации имеет номер 7.

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	2093,0	до4	c4	C7
2	2349,3	ре4	d4	D7
3	2637,0	ми4	e4	E7
4	2793,8	фа4	f4	F7
5	3136,0	соль4	g4	G7
6	3520,0	ля4	a4	A7
7	3951,1	си4	h4	B7

Пятая октава

Включает звуки с частотами от 4186,0 Гц (включительно) до 8372,0 Гц. В нотации Гельмгольца наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 5 (или пять штрихов). В научной нотации имеет номер 8.

Номер ступени	Частота, Гц	Слоговое обозначения по Гельмгольцу	Буквенное обозначение по Гельмгольцу	Американская нотация	Классическая музыкальная нотация
1	4186,0	до5	c5	C8
2	4698,6	ре5	d5	D8
3	5274,0	ми5	e5	E8
4	5587,7	фа5	f5	F8
5	6271,9	соль5	g5	G8
6	7040,0	ля5	a5	A8
7	7902,1	си5	h5	B8

Другие равномерные темперации

Существуют и другие равномерные темперации (РТ). Чтобы выражение n-тоновая РТ писать короче, может быть использовано сокращение n-тРТ^{[источник не указан 102 дня]}, где числу n соответствует количество тонов на октаву. Известны музыкальные произведения, написанные в 19-тРТ^[7], 24-тРТ, 31-тРТ^[8] и даже 53-тРТ^[9]. Термин «равномерная темперация», без уточнений, обычно понимается как 12-тРТ.

Равномерные темперации могут также делить иной интервал, не только октаву, на целое число равных ступеней. Чтобы избежать неясности, в англоязычной литературе, например, широко используется словосочетание «equal divisions of an octave», или его сокращённая форма EDO. В русском языке одинаковый смысл передаёт словосочетание «равные деления октавы», или РДО. Поэтому 12-тРТ может переименовываться в 12РДО, 19-тРТ в 19РДО, и так далее^[10].

Равномерно темперированный строй и другие строи

Наряду с господствующим равномерно темперированным строем в Европе существовали и существуют другие строи. Русский исследователь музыки XIX века Владимир Одоевский, например, написал так:

Русский простолюдин с музыкальным дарованием, у которого ухо еще не испорчено ни уличными шарманками, ни итальянскою оперою, поет весьма верно; и по собственному чутью берет интервал весьма отчетливо, разумеется, не в нашей уродливой темперированной гамме <...> Я записывал с голоса [известного нашего русского певца Ивана Евстратиевича Молчанова, человека с чудною музыкальною организациею] весьма интересную песню: «У Троицы, у Сергия, было под Москвою» <...> заметил, что Si певца никак не подходит к моему фортепианному Si; и Молчанов также заметил, что здесь что-то не то <...> Это навело меня на мысль устроить фортепиано нетемперированное в такой системе, как обыкновенное. За основание я принял естественную гамму, вычисленную акустическими логарифмами по методе Прони; в этом энгармоническом клавицине все квинты чистые, диезы, отмеченные красным цветом, отделены от бемолей и по невозможности в самом механизме инструмента, я пожертвовал faЬ и utЬ, чтобы сохранить si# и mi#, потому что наши народные певцы — по непонятной для меня причине поют более в диезных нежели в бемольных тонах

— В. Ф. Одоевский^[11]

Широкомасштабное движение музыкантов-аутентистов практикует воспроизведение музыки прошлого в тех строях, в которых исполняемая ими музыка была написана.

В неевропейской традиционной музыке сохраняется практика использования строев, отличающихся от равномерно темперированного, — во всех жанрах и формах мощной макамо-мугамной традиции^[12], а также в индийской^[13] и др.

См. также

• Хроматическая гамма

Примечания

1. ↑ Hart R. Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China
2. ↑ См. en:Zhu Zaiyu, Prince of Zheng
3. ↑ См. Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691)
4. ↑ Bach J. S. J. S. Bach: The Well-Tempered Clavier. — Los Angeles, CA: Alfred Music Publishing, 2004. — P. 4. — ISBN 0882848313
5. ↑ Например, Тартини и др.
6. ↑ Веркмейстер в своей работе Musikalische Paradoxal-Discourse (1707), опубликованной посмертно, выступил популяризатором идей Мерсенна о равномерно темперированном строе.
7. ↑ Nine Preludes for Two Pianos in 19-Tone Temperament by Joel Mandelbaum
8. ↑ Concert No. 2 for two violins and orchestra by Henk Badings, 1969
9. ↑ Letter from B. Cicovacki to P. Scaruffi (англ.):

   ... Иосип Славенски написал произведение для электронных инструментов с названием «Музыка в Натуральной тональной системе» (1937). В нём две части, первая написана для фисгармонии Бозанкета с 53 тонами в октаве...»
   
   («…JOSIP STOLCER SLAVENSKI <...> composed a composition for electronic insruments with the title Music in the Natural Tonal System (1937). It includes two movements: the first movement is written for the Bosanquet enharmonium with 53 tones in an octave»)

10. ↑ Алиева И. Микротональная нотация посредством числовых уточнений знаков альтерации (на примере звукоряда тара)
11. ↑ Одоевский В. Ф. [«Русскии простолюдин...»]. Цит. из сборника В. Ф. Одоевский. Музыкально-литературное наследие.— М.: Государственное музыкальное издательство, 1956.— с. 481—482
12. ↑ В отечественной науке на это указывал, начиная с конца 1920-х годов, выдающийся музыковед и этнограф В. М. Беляев; см. например, его работы: Туркменская музыка. Том 1. М., 1928 (совм. с В. А. Успенским); Руководство для обмера народных музыкальных инструментов, М., 1931; Музыкальные инструменты Узбекистана, М., 1933; Ладовые системы в музыке народов СССР // В.М.Беляев. [Сб. статей]. М.: Сов. композитор, 1990. Среди современных публикаций — доклад С. Агаевой и Ш. Гаджиева «О проблемах исследования звуковысотной системы азербайджанских мугамов». VII Междунар. симпозиум науч.-иссл. группы «Макам» при Междунар. Совете по трад. муз. ЮНЕСКО. Баку. 2011. С. 20-32; см. также упомянутую статью И. Алиевой. Краткий обзор и библиографию зарубежной литературы по данной тематике см. в O. Wright et al. Arab Music. I. Art Music // The New Grove Dictionary of Music and Musicians. London, New York, 2001; H. Farhat. Iran. II. Classical traditions. 2. Theory of intervals and scales, 3. The modal system. // ibid. Также см. 'Issam El-Mallah. Arab Music and Musical Notation. Hans Schneider Verlag. Tutzing. 2001; S. Marcus. The Interface between Theory and Practice: Intonation in Arab Music. Asian Music, Vol. 24, No. 2 (1993), pp. 39-58; H. Farhat. Scales and Intervals: Theory and Practice, Irish Musical Studies, i (1990), pp. 216–26.
13. ↑ Краткий обзор и библиографию зарубежной литературы по данной тематике см. в Powers H. and Widdess R. India, subcontinent of. III. Theory and practice of classical music. 1. Tonal systems // The New Grove Dictionary of Music and Musicians. London, New York, 2001.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.