Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Стационарная теория возмущений в квантовой механике — теория возмущений где гамильтониан не зависит от времени. Теория построена Шрёдингером в 1926 году.

Теория применима для достаточно слабых возмущений: $H = H_0 + \lambda H_1$ при этом параметр $\lambda$ должен быть настолько маленьким, чтобы возмущение не слишком искажало невозмущённый спектр $H^0$.

Невырожденный спектр

В теории возмущений решение представляется в виде разложения

$|n\rangle = |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle +\lambda^2 |n^2\rangle+...,$

$E_n = E^0_n+\lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n+...$

Конечно, должно быть верно уравнение Шрёдингера:

$H|n\rangle = E_n|n\rangle.$

Подставляя разложение в это уравнение, получим

$(H_0+\lambda H_1)(|n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle +...) =$

$(E^0_n + \lambda E^1_n + \lambda^2 E^2_n + ... ) ( |n^0\rangle + \lambda |n^1\rangle + \lambda^2 |n^2\rangle + ...)$

Собирая слагаемые одинакового порядка по $\lambda$, получим последовательности уравнений

$H_0 |n^0\rangle = E^0_n|n^0\rangle,$

$H_0 |n^1\rangle + H_1 |n^0\rangle = E^0_n |n^1\rangle + E^1_n|n^0\rangle,$

$H_0 |n^2\rangle + H_1 |n^1\rangle = E^0_n |n^2\rangle + E^1_n |n^1\rangle + E^2_n |n^0\rangle.$

и т. д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения $E^k_n$ и $n^k$. Слагаемое с индексом $k = 0$ — это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о «приближении нулевого порядка». Аналогично говорят о «приближении k-го порядка», если рассчитывают решение до слагаемых $E^k_n$ и $n^k$.

Из второго уравнения получаем, что можно определяться однозначно решения для $n^1$ только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация $n^1$ и $n^0$ является решением. Возникает вопрос о нормализиции. Так как мы можем предположить, что $\langle n^0|n^0\rangle = 1$, но в то же время из нормировки точного решения следует $\langle n|n\rangle = 1$. Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить $\langle n^0|n^1\rangle +\langle n^1|n^0\rangle=0$. Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен можно без потери общности сказать, что число $\langle n^0|n\rangle$ действительно. Поэтому $\langle n^0|n^1\rangle = -\langle n^1|n^0\rangle$, и как следствие налагаемое дополнительное условие примет вид:

$\langle n^0|n\rangle = 1.$

Так как невозмущённое состояние $n^0$ должно быть нормируемо, сразу следует

$\lambda\langle n^0|n^1\rangle + \lambda^2\langle n^0|n^2\rangle + \lambda^3\langle n^0|n^3\rangle + \ldots = 0$

и из этого

$\langle n^0|n^k\rangle = \delta_{0k}.$

Получаем поправку в первом порядке

$E^1_n = \langle n^0| H_1|n^0\rangle,$

$|n^1\rangle = \sum_{m\neq n} \frac{\langle m^0|H_1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m}|m^0\rangle,$

и для поправки энергии во втором порядке

$E^2_n = \sum_{m\neq n} \frac{|\langle m^0|H_1|n^0\rangle|^2}{E^0_n-E^0_m}.$

Литература

Landau L. D., Lifschitz E. M. Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. — 3rd. — ISBN 0-08-019012-X