- Волны Рэлея
-
Волны Рэлея — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея теоретически предсказавшего их в 1885 году[1].
Содержание
Описание
Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности, Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.[2]
Изотропное тело
В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρ, уравнение движения для смещений U можно записать в виде
(1) где λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=Ut+Ul, где Ut=grad φ и Ul=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений[3]:
(2.1) (2.2) Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x,z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид
(3.1) (3.2) где — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн[4]:
(4.1) (4.2) где ; ; ; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представлют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.
Компоненты смещения представляются в виде
(5.1) (5.1) Из закона Гука компоненты тензора напряжений
(6.1) (6.2) После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имееет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно[5]
(6) где , . Это уравнение имеет единственный корень относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:
(7) Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны[6]:
(8.1) (8.2) Примечания
- ↑ Lord Rayleigh (1885). «On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid». Proc. London Math. Soc. s1-17 (1): 4–11.
- ↑ Викторов И. А., с. 11
- ↑ Викторов И. А., с. 7
- ↑ Викторов И. А., с. 8
- ↑ Викторов И. А., с. 9
- ↑ Викторов И. А., с. 10
Литература
- Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.
Категория:- Упругие волны
Wikimedia Foundation. 2010.