Быстрое возведение в степень

Алгоритм быстрого возведения в степень — алгоритм, предназначенный для возведения числа x в натуральную степень n за меньшее число умножений, чем это требуется в определении.

Алгоритм не всегда оптимален. Например, при n=15 требуется 6 умножений, хотя на самом деле возведение в 15-ую степень можно выполнить за 5 умножений.

Теоретические основы алгоритма

Пусть $m=(\overline {m_{k}m_{k-1}...m_{1}m_{0}})_2$ — двоичное представление степени n. Тогда $n=m_{k} \cdot 2^{k}+m_{k-1} \cdot 2^{k-1}+...+m_{1} \cdot 2+m_{0}$, где $m_{k}=1, m_{i} \in \{ 0,1 \}$ и $x^{n}=x^{((...((m_{k} \cdot 2+m_{k-1}) \cdot 2+m_{k-2}) \cdot 2+...) \cdot 2+m_{1}) \cdot 2 + m_{0}}=((...(((x^{1})^{2} \cdot x^{m_{k-2}})^{2}...)^{2} \cdot x^{m_{1}})^2 \cdot x^{m_{0}}$.

Таким образом, алгоритм быстрого возведения в степень сводится к мультипликативному аналогу схемы Горнера.

$\begin{Bmatrix} s_{k}=x \\ s_{i}=s_{i+1} \cdot x^{m_{i}} \\ 0 \le i \le k-1 \end{Bmatrix}$

Программная реализация

Используется представление числа x^m:

$x^m=x^{m_0} \cdot \left(x^2\right)^{m_1} \cdot \left(x^{2^2}\right)^{m_2} \cdot \left(x^{2^3}\right)^{m_3} \cdot\dots\cdot \left(x^{2^k}\right)^{m_k}$.

Язык Си

int power(int t, int k) {
// возведение t в степень k
  int res = 1;
  while (k) {
	if (k & 1) res *= t;
	t *= t;
	k >>= 1;
  }
  return res;
}

Паскаль

function power(t,k:integer):integer;
var
  res:integer;
Begin
  res := 1;
  while (k > 0) do
  begin
    if (k mod 2 = 1) then     {или напишите "if (k and 1 = 1)" для бОльшей скорости выполнения} 
      res := res * t;
    t := t * t;
    k := k div 2;        {или напишите "k := k shr 1;" для бОльшей скорости выполнения}
  end;
  power := res;
End;

Оценка сложности

Чтобы узнать, сколько умножений потребуется для возведения числа x в степень n алгоритмом быстрого возведения в степень, нужно произвести вычисления по следующей формуле: k = H + 2(E − 1), где H — количество нулей, а E — количество единиц в двоичной записи числа n.

Так, для возведения числа в сотую степень этим алгоритмом потребуется всего лишь 8 умножений.

Таким образом количество умножений равно O(lnn).

Обобщение

Пусть пара (S, *) — полугруппа, то есть S — произвольное множество, на котором задана бинарная операция * такая, что:

• Для любых элементов a и b из S справедливо: (a * b) так же из S. (замкнутость)
• Для любых элементов a, b и c из S справедливо: ((a * b) * c) = (a * (b * c)). (ассоциативность)

Мы можем назвать операцию * умножением и определить операцию возведения в натуральную степень:

$a^n=\left\{ \begin{array}{ll} a & n = 1 \\ a * \left(a^{n-1}\right) & n > 1 \end{array} \right.$

Для вычисления значений aⁿ можно использовать алгоритм быстрого возведения в степень.

Литература

• Валицкас А. И. Конспект лекций по дисциплине: Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. //Тобольск, ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 2004.