Бомбелли

Бомбелли, Рафаэль

Алгебра Бомбелли

Рафаэль Бомбелли (итал. Rafael Bombelli; ок. 1526, Болонья — 1572, вероятно, Рим) — итальянский математик, инженер-гидравлик. Известен тем, что ввёл в математику комплексные числа и разработал базовые правила действий с ними.

Настоящая фамилия: Маццоли (Mazzoli).

Биография

Рафаэль Маццоли родился в Болонье в семье торговца шерстью Антонио Маццоли и дочери портного Диаманте Скудьери (Diamante Scudieri), он был старшим из шести их детей. Учился архитектуре. Как раз в это время открытия дель Ферро и Тартальи вызвали подъём массового интереса к математике, который захватил и Бомбелли.

Будучи по делам в Риме, Бомбелли познакомился с профессором университета Антонио Мария Пацци, который незадолго до того обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись «Арифметики» Диофанта. Друзья договорились перевести её на латинский.

Одновременно с переводом Бомбелли пишет свой трактат «Алгебра» в трёх книгах, куда включил не только свои разработки, но и множество задач Диофанта с собственными комментариями. Он планировал дополнить трактат ещё двумя книгами геометрического содержания, но не успел их завершить.

В честь Бомбелли названы:

• лунный кратер Bombelli.
• астероид 17696 Бомбелли.

Алгебра

Главный труд Бомбелли — «Алгебра» (L’Algebra), написана около 1560 года и издана в 1572 году. «Алгебра» примечательна во многих отношениях.

Бомбелли, первый в Европе, свободно оперирует с отрицательными числами, приводит правила работы с ними, включая правило знаков для умножения.

Он также первым оценил пользу комплексных чисел, в частности для решения уравнений третьей степени по формулам Кардано.

Пример ^[1]. Уравнение x³ = 15x + 4 имеет вещественный корень x = 4, однако по формулам Кардано получаем: $x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$.

Бомбелли обнаружил, что $\sqrt[3]{2 \pm 11i}=2 \pm i$, откуда сразу получается нужный вещественный корень. Он подчеркнул, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни всегда сопряжены, поэтому и получается вещественный корень. Его разъяснения положили начало успешному применению в математике комплексных чисел.

Правда, полное исследование требовало умения извлекать корни из комплексных чисел, а этого умения у Бомбелли ещё не было. Полностью проблему решил де Муавр в XVIII веке.

Бомбелли также придумал первые скобки; они имели вид прямой и перевёрнутой буквы L. Привычные нам круглые скобки появились в том же XVI веке, однако в общее употребление их ввели только Лейбниц и Эйлер. Бомбелли первый стал использовать числовое (а не словесное, как ранее) обозначение для показателя степени, помечаемое специальной дужкой снизу. Современное обозначение показателя ввёл в широкое обращение Декарт.

Цепные дроби

Из других его научных достижений следует отметить применение цепных дробей для вычисления квадратных корней из натуральных чисел. Чтобы найти значение $\sqrt{n}$, сначала определим его целое приближение: $\sqrt{n} = a \pm r$, где $0<r<1\$. Тогда $n=(a \pm r)^2=a^2\pm 2ar+r^2\$. Отсюда несложно вывести, что $r=\frac{|n-a^2|}{2a\pm r}$. Повторно подставляя полученное выражение в формулу $\sqrt{n} = a \pm r$, мы получаем разложение в цепную дробь:

$a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \cdots }}}$

Для оценки точности полученных приближений можно использовать одно из свойств цепных дробей: последовательные значения подходящих дробей колеблются около предела, чередуя приближения с избытком и недостатком.

Пример. Для $\sqrt{13}, a=3$ мы получаем последовательные приближения:

$3\frac{2}{3},\ 3\frac{3}{5},\ 3\frac{20}{33},\ 3\frac{66}{109},\ 3\frac{109}{180},\ 3\frac{720}{1189},\ \cdots$

Последняя дробь равна 3.605550883…, в то время как $\sqrt{13}\ \approx 3.605551275$.

Примечания

1. ↑ Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 130.

Труды

• «Алгебра» Бомбелли (итал.).

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Бомбелли, Рафаэль в архиве MacTutor