Сферы Берже

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.

Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии.

Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа.

Построение

Рассмотрим $S^3$ как сферу в комплексном пространстве $\mathbb C^2$. На ней действует $S^1\subset \mathbb C$ комплексными умножениями. Таким образом на $\R\times S^3$ можно построить изометрическое действие $\R\times S^1$ с помощью комплексных поворотов $S^3$ и сдвигов по $\R$. В $\R\times S^1$ есть однопараметрическое семейство подгрупп $\R_\alpha$ изоморфных $\R$, с элементами типа $(t,e^{\alpha t})\in \R\times S^1$. Фактор $\R\times S^3$ по действию $\R_\alpha$ диффеоморфен $S^3$, но индуцированная риманова метрика $g_\alpha$ на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие $(S^3, g_\alpha)$ называется сферой Берже.

Свойства

• Из формулы О’Нэйла, секционая кривизна $g_\alpha$ положительна.
• При $\alpha\to\infty$ пространства $(S^3, g_\alpha)$ коллапсируют к $S^2_{1/2}$, стандартной 2-сфере радиуса $1/2$.
• При $\alpha\to\infty$, тензор кривизны $(S^3, g_\alpha)$ сходится к тензору кривизны пространства $\R\times S^2_{1/2}$
• Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на $S^3=Spin_4$
• Круговые сферы в комплексной проективной плоскости $\mathbb C P^2$ с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже
• На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических, которые при достаточно больших $\alpha$ являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).