6-j символ

6-j символы Вигнера введены в обращение Юджином Вигнером в 1940, и опубликованы в 1965.

Понятие 6-j символа возникает при квантовомеханическом сложении трёх моментов импульса, а именно, три угловых момента можно сложить тремя способами (типами связи), получив при этом одно и то же значение результирующего момента $j$ и его проекции $m$:

$\begin{matrix} 1)& j_1 + j_2 = j_{12}\quad j_{12} + j_3 = j\\ 2)& j_2 + j_3 = j_{23}\quad j_{1} + j_{23} = j\\ 3)& j_1 + j_3 = j_{13}\quad j_{13} + j_2 = j \end{matrix}$

Переход от одной схемы связи к другой задаётся унитарным преобразованием, связывающим состояния с одинаковыми значениями полного момента $j$ и его проекции $m$. Коэффициенты этого преобразования отличаются от 6-j символов только нормировочными и фазовыми множителями. Эти множители выбираются таким образом, чтобы 6-j символы обладали наиболее простыми свойствами симметрии.

6-j символы выражаются через W-коэффициенты Рака следующим образом

$\begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6).$

и обладают большей симметрией, чем W-коэффициенты Рака.

Свойства симметрии

$6-j$ символ инвариантен относительно перестановки любой пары его столбцов:

$\begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_2 & j_1 & j_3\\ j_5 & j_4 & j_6 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_1 & j_3 & j_2\\ j_4 & j_6 & j_5 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_3 & j_2 & j_1\\ j_6 & j_5 & j_4 \end{Bmatrix}.$

$6-j$ символ также инвариантен при обмене местами верхних и нижних аргументов в любых двух столбцах:

$\begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_4 & j_5 & j_3\\ j_1 & j_2 & j_6 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_1 & j_5 & j_6\\ j_4 & j_2 & j_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} j_4 & j_2 & j_6\\ j_1 & j_5 & j_3 \end{Bmatrix}.$

$6-j$ символ

$\begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix}$

не равен нулю только если $j_1$, $j_2$, и $j_3$ удовлетворяют условию треугольника, т.е.,

$j_1 = |j_2-j_3|, \ldots, j_2+j_3.$

Вместе с свойствами симметрии по отношению к обмену верхних и нижних аргументов это приводит к тому, что условиям треугольника должны удовлетворять также $(j_1,j_5,j_6)$, $(j_4,j_2,j_6)$, и $(j_4,j_5,j_3)$.

Частные случаи

Если $j_6=0$ выражение для 6-j символа принимает вид:

$\begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & 0 \end{Bmatrix} = \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3}\Delta(j_1,j_2,j_3).$

Функция $\Delta(j_1,j_2,j_3)$ равна 1, если $(j_1,j_2,j_3)$ удовлетворяют условию треугольника и равны нулю в остальных случаях. Свойства симметрии позволяют найти выражения для случая, когда другой из $j$ равен нулю.

Соотношения ортогональности

6-j символы удовлетворяют следующему соотношению ортогональности:

$\sum_{j_3} (2j_3+1) \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ j_4 & j_5 & j_6' \end{Bmatrix} = \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \Delta(j_1,j_5,j_6) \Delta(j_4,j_2,j_6).$

Явные выражения

6-j символы могут быть выражены в явном виде различными способами:

• в виде конечных сумм
• через R-символ (формула Баргмана)
• через обобщённые гипергеометрические функции
• через 3-j символы
• в виде квазибиномов
• в виде интегралов от характеров представлений группы вращений

В качестве примера приведём выражение для 6-j символов в виде конечных сумм: $\begin{Bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{Bmatrix}=(-1)^{a+c+d+f}\frac{\Delta(abc)\Delta(bdf)}{\Delta(aef)\Delta(cde)}\times$

$\quad\times\sum_n(-1)^n\frac{(a-b+d+e-n)!(-b+c+e+f-n)!(a+c+d+f+1-n)!}{n!(a-b+c-n)!(-b+d+f-n)!(a+e+f+1-n)!(c+d+e+1-n)!}$

где суммирование ведётся по всем n при которых под знаком факториала стоят неотрицательные выражения.

Смотри также

• Коэффициенты Клебша-Гордана
• 3-j символ
• W-коэффициент Рака
• 9-j символ

Литература

• Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963
• Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.

Ссылки

• Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (Даёт точный ответ)
• онлайн калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана, 3-j и 6-j символов (численно)
• калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)