- Элементарный топос
-
См. также: Топос Гротендика
В теории категорий элемента́рный то́пос — это категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств. В рамках теории элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.
Содержание
Определение
Элементарный топос — это декартово замкнутая категория, в которой существует выделенный объект
, называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта
, называемый истиной (также обозначается
), такой что для любого мономорфизма
существует единственный морфизм
, для которого диаграмма
является декартовым квадратом.
Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и декартов квадрат любых двух стрелок с общим концом, а также экспоненциал
любых двух объектов
и
и классификатор подобъектов
.
Свойства
- Любой элементарный топос является конечно полным (по определению) и конечно кополным.
Примеры
- Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств
и
— это множество
отображений из
в
. Классификатор подобъектов — это множество
, при этом
— естественное вложение
в
, а
— характеристическая функция подмножества
множества
, равная 1 на элементах
и 0 на элементах
. Подобъекты
— это его подмножества.
- Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
- Для любой категории
категория функторов
является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов
функтор морфизмов
даётся формулой
- Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов
на объекте
равен множеству подфункторов представимого функтора
.
- Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству
его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению,
, то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе
. Единственное отличие:
есть множество всех подпучков представимого пучка
.
- Более общо, для любой категории
с заданной топологией Гротендика
категория
-пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
- Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.
Литература
- Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
- П.Т. Джонстон Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
- F. Borceux Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3
- P.T. Johnstone Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X
См. также
Категория:- Теория категорий
Wikimedia Foundation. 2010.