Формула Брахмагупты

Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон $a, b, c, d$ и полупериметр $p=\frac{a+b+c+d}{2}$, то его площадь $S$ равна $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Доказательство  

Площадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$

$S = \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C.$

Так как $ABCD$ является вписанным четырехугольником, то $\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB.$ Следовательно, $\sin A = \sin C$:

$S = \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin A$

$S^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (ab + cd)^2$

$4S^2 = (1 - \cos^2 A)(ab + cd)^2 \,$

$4S^2 = (ab + cd)^2 - \cos^2 A (ab + cd)^2. \,$

Записав теорему косинусов для стороны $DB,$ в $\triangle ADB$ и $\triangle BDC,$ получаем:

$a^2 + b^2 - 2ab\cos A = c^2 + d^2 - 2cd\cos C. \,$

Используем $\cos C = -\cos A$ ($A$ и $C$ противолежащие), а затем выносим за скобки $2\cos A$:

$2\cos A (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2. \,$

Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:

$4S^2 = (ab + cd)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2$

$16S^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2, \,$

Применим формулу $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$:

$(2(ab + cd) + a^2 + b^2 -c^2 - d^2)(2(ab + cd) - a^2 - b^2 + c^2 + d^2) \,$

$= ( (a+b)^2 - (c-d)^2 )( (c+d)^2 - (a-b)^2 ) \,$

$= (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a). \,$

Так как полупериметр $p = \frac{a+b+c+d}{2},$

$16S^2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d). \,$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Близкие результаты и обобщения

• Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, $d=0$).

• На случай невписанных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть распространена следующим образом:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\theta},$

где $\theta$ есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна $\theta$, то полусумма двух других углов будет $180^\circ -\theta$ и $\cos^2(180^\circ -\theta)=\cos^2\theta.$)

Иногда эту более общую формулу записывают так:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}\,$

где $u$ и $v$ — длины диагоналей четырёхугольника.

• Д. Роббинс доказал, что для любого вписанного многоугольника с $n$ сторонами величина $(4S)^2$ является корнем некоторого многочлена $P$, коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для $n=5$ и $n=6$. Другими авторами установлено, что многочлен $P$ можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень $N=N(n)$ была равна $\Delta_k$, если $n=2k+1$ и $2\Delta_k$, если $n=2k+2$. Здесь

$\Delta_k=\frac{2k+1}{2}C_{2k}^k-2^{2k-1}= \sum_{j=0}^{k-1}(k-j)C_{2k+1}^{j},$

где

$C_k^j=\frac{k!}{j!(k-j)!}=\frac{k(k-1)(k-2)\dots(k-j+1)}{j(j-1)(j-2)\dots\cdot 2\cdot 1}$

— биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем $\Delta_1=1$, $\Delta_2=7$, $\Delta_3=38$, $\Delta_4=187, \dots$, и $N(4)=2$, $N(5)=7$, $N(6)=14$, $N(7)=38, \dots$

Популярная литература

• В. В. Прасолов. Формула Брахмагупты // Математика в школе. 1991, № 5.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Научная литература

• В. В. Варфоломеев. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Мат.сборник. 2003. Т. 194, № 3. С. 3—24.
• M. Fedorchuk, I. Pak. Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes // Duke Math. J. 2005. V. 129, No. 2. P. 371—404.