Формула Зоммерфельда-Дирака

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как "линейный осциллятор", который характеризуется "адиабатичным инвариантом", представляющим собой площадь эллипса (в обобщенных координатах):

$\oint\mathbf{p} \cdot\,\mathbf{dq} = \frac {W}{\nu} = J$

где - $\mathbf{p},\mathbf{q}$ - обобщенный импульс и координаты электрона, W - энергия, ν - частота. А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой pq - плоскости за один период движения, равна целому числу умноженному на постоянную Планка h (Дебай, 1913 г.). С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

$J_1 = nh \$, $J_2 = kh \$,

где n- определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона (a- ), а k- - его фокальный параметр q:

$a = a_0n^2 \$, $q = a_0k^2 \$,

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

$E = -\frac {RhZ^2}{h^2} + \epsilon(n,k)$.

где R - постоянная Ридберга, а Z - порядковый номер атома (для водорода Z = 1 ).

Дополнительный член ε(n,k) отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом k. Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния ( n = n₁,k = 1,2,...,n₁ ) и низшего состояния ( n = n₂,k = 1,2,...,n₂ ). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов (H, He ⁺ , Li^{2 +} ), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия He ⁺ установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) Еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

$E + E_0 = E_0\big(1 + \frac {\alpha^2Z^2}{\big(n_r + \sqrt(n_\phi^2 - \alpha^2Z^2))^2} \big)^{-1/2}$,

где α - постоянная тонкой структуры, Z - порядковый номер атома, E₀ = mc² - энергия покоя, n_r - радиальное квантовое число, а n_φ - азимутальное квантове число. Позднее эту формулу получил Дирак используя релятивистское уравнения Шредингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда - Дирака.

Появление тонкой структуры термов связана с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае Z = 1 (атом водорода) величина расщепления близка к

$E/h \approx R\alpha^2/n^2$

Поскольку длина электромагнитной волны равна

$\lambda = c/\nu = ch/E = cn^2/R\alpha^2 \approx 0,17cm$

Поэтому для n = 2 это будет почти 1 см.

Литература

• Борн М. Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.