Сепарабельный многочлен

В математике, многочлен называется сепарабельным над полем K, если все его неприводимые множители не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля K. Существует также неэквивалентное этому определение: многочлен $P$ сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей (формальной) производной $P'$. Это последнее означает, что сам многочлен P (а не только его неприводимые над K сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов два вышеуказанных, вообще говоря, различных определения эквивалентны.

Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля.

Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в конечной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена P должно иметь место представление

$P(X)=Q(X^p),$

где Q — также неприводимый многочлен, а p характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена: это многочлен

$P(X)=X^p-T$

над полем $K=\mathbb{F}_p(T)$ рациональных функций от одной переменной T над полем из p элементов $\mathbb{F}_p$. Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении $T^{1/p}$ к полю K), мы видим, что

$P(X)=X^p-(T^{1/p})^p = (X-T^{1/p})^p,$

иными словами, $T^{1/p}$ является (единственным) корнем кратности p.