Рациональный кубоид

Рациональный кубоид

Рациональный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, рациональный кубоид — целочисленное решение системы диофантовых уравнений

a^2 + b^2 = d^2\,
b^2 + c^2 = e^2\,
a^2 + c^2 = f^2\,
a^2 + b^2 + c^2 = g^2\,

До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·1012.[2] Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:

  • (672, 153, 104)\, — одна из лицевых диагоналей нецелая.
  • (18720, \sqrt{211773121}, 7800), (520, 576, \sqrt{618849}) — одно из рёбер нецелое.
  • Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
  • Косоугольные параллелепипеды, у которых все семь величин целые. При этом достаточно одного непрямого угла.

В 2005 году тбилисский студент Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует — однако на 2012 год работа так и не прошла проверку независимыми учёными.[3][4]

Эйлеров параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:

  • (275, 252, 240),
  • (693, 480, 140),
  • (720, 132, 85),
  • (792, 231, 160).

Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.

Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)[5]:

  • Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b,c)=1).
  • Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
  • Одно ребро делится на 5.
  • Одно ребро делится на 11.

См. также

Примечания

  1. Weisstein, Eric W. Perfect Cuboid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Bill Butler, The “Integer Brick” Problem
  3. Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2
  4. Mu Alpha Theta
  5. Primitive Euler Bricks

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Рациональный кубоид" в других словарях:

  • Рациональный кирпич — Рациональный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, рациональный кубоид… …   Википедия

  • Целочисленный кубоид — Рациональный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, рациональный кубоид… …   Википедия

  • Целочисленный кирпич — Рациональный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, рациональный кубоид… …   Википедия

  • Эйлеров параллелепипед — Рациональный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, рациональный кубоид… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»