Рациональный кубоид

Рациональный кубоид^[1] (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, рациональный кубоид — целочисленное решение системы диофантовых уравнений

$a^2 + b^2 = d^2\,$

$b^2 + c^2 = e^2\,$

$a^2 + c^2 = f^2\,$

$a^2 + b^2 + c^2 = g^2\,$

До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·10¹².^[2] Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:

• $(672, 153, 104)\,$ — одна из лицевых диагоналей нецелая.
• $(18720, \sqrt{211773121}, 7800)$, $(520, 576, \sqrt{618849})$ — одно из рёбер нецелое.
• Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
• Косоугольные параллелепипеды, у которых все семь величин целые. При этом достаточно одного непрямого угла.

В 2005 году тбилисский студент Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует — однако на 2012 год работа так и не прошла проверку независимыми учёными.^[3][4]

Эйлеров параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:

• (275, 252, 240),
• (693, 480, 140),
• (720, 132, 85),
• (792, 231, 160).

Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.

Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)^[5]:

• Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b,c)=1).
• Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
• Одно ребро делится на 5.
• Одно ребро делится на 11.

См. также

• Открытые математические проблемы

Примечания

1. ↑ Weisstein, Eric W. Perfect Cuboid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. ↑ Bill Butler, The “Integer Brick” Problem
3. ↑ Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2
4. ↑ Mu Alpha Theta
5. ↑ Primitive Euler Bricks