Последовательность Люка

Не следует путать с числами Люка.

В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка.

Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей $\{U_n(P,Q)\}$ и $\{V_n(P,Q)\}$, удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:

$U_0(P,Q) = 0,\quad U_1(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q) - Q\cdot U_n(P,Q),\,n\geq 0$

$V_0(P,Q) = 2,\quad V_1(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q) - Q\cdot V_n(P,Q),\,n\geq 0$

Примеры

Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:

• $\{U_n(1,-1)\}$ — числа Фибоначчи
• $\{V_n(1,-1)\}$ — числа Люка
• $\{U_n(2,-1)\}$ — числа Пелля (англ.)
• $\{V_n(2,-1)\}$ — числа Пелля—Люка (англ.)
• $\{U_n(3,2)\}$ — числа Мерсенна
• $\{V_{2^n}(3,2)\}$ — числа Ферма
• $\{U_n(1,-2)\}$ — числа Якобшталя (англ.)

Явные формулы

Характеристическим многочленом последовательностей Люка $\{U_n(P,Q)\}$ и $\{V_n(P,Q)\}$ является:

$x^2 - P\cdot x + Q$

Его дискриминант $D = P^2 - 4Q$ предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена

$\alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2}$ и $\beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2}$

можно использовать для получения явных формул:

$U_n(P,Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}$

и

$V_n(P,Q) = \alpha^n + \beta^n.~$

Вырожденный случай

Дискриминант $D$ обращается в ноль при $P=2S, Q=S^2$ для некоторого числа $S$. При этом выполняется $\alpha=\beta=S$ и соответственно:

$U_n(2S,S^2)=nS^{n-1},$

$V_n(2S,S^2)=2S^n.$

Свойства

$DU_n=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_n$

$V_n=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_n$

$U_{n+m}=U_nU_{m+1}-QU_mU_{n-1}=\frac{U_nV_m+U_mV_n}{2}$

$V_{n+m}=V_nV_m-Q^mV_{n-m}$

$U_{2n}=U_nV_n=\frac{U^2_{n+1}-Q^2U^2_{n-1}}{P}$

$V_{2n}=V^2_n-2Q^n$

$U_{2n+1}=U^2_{n+1}-QU^2_n$

Ссылки

• В. П. Паламодов О многочленах, образующих возвратную последовательность 2-го порядка // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1957. — В. 1. — С. 139-147.