Линейная вектор-функция

Линейная вектор-функция

Линейная вектор-функция, функция f(x) векторного переменного х, обладающая следующими свойствами:

1. $~f(x + y) = f(x) + f(y)$
2. $~f(a*x) = a*f(x)$ (a - число).

Л. в.-ф. в n-мерном пространстве вполне определяется значениями, принимаемыми ею для n линейно независимых векторов. Скалярную (принимающую числовые значения) Л. в.-ф. называют также линейным функционалом; в n-mepном пространстве она выражается линейной формой, $f(x) = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} +\ldots + a_{n}x_{n}$ от координат $x_{1}, x_{2},\ldots, xn$ вектора х. Примером скалярной Л. в.-ф. является скалярное произведение вектора х и некоторого постоянного вектора а: $f=\left\{(a,x)\right\}$, в пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая скалярная Л. в.-ф. имеет такой вид. Векторная (принимающая векторные значения) Л. в.-ф. определяет линейное или аффинное преобразование пространства и называется также линейным оператором, или аффинором. Векторная Л. в.-ф. y = f(x) в n-мерном пространстве выражается в координатах формулами:

$y_{1} = a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n}$,

$y_{2} = a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n}$,

$\ldots$

$y_{n} = a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots + a_{nn}x_{n}$.

Здесь числа a_ij $(i, j = 1, 2,\ldots, n)$ составляют матрицу векторной Л. в.-ф. Если определить сумму векторных Л. в.-ф. $~f(x)$ и $~g(x)$ как Л. в.-ф. $~f(x) + g(x)$, а произведение тех же функций, как Л. в.-ф. $g\left\{(f(x))\right\}$, то сумме и произведению векторных Л. в.-ф. будут соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной Л. в.-ф. является Л. в.-ф. вида:

$f(x)=(A_{1}, x) a_{1} + (A_{2}, x) a_{2} + \ldots + (A_{n}, x) a_{n}$,

где $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ - постоянные векторы; в n-мерном пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая векторная Л. в.-ф. может быть представлена в таком виде.

Функцию нескольких векторных переменных, являющуюся Л. в.-ф. относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной (билинейной, трилинейной и т. д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции приводят к понятию тензора. О Л. в.-ф. (линейных функционалах и операторах) в бесконечномерном пространстве см. Функциональный анализ.

Связать^?