Теорема Гильберта 90

Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа EÉK.

Мультипликативная форма

Пусть G — группа Галуа конечного циклического расширения E/K c образующей σ. Тогда норма любого элемента βÎ E равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент αÎ E, что β=α/σ(α).

Доказательство

Достаточность очевидна: если β=α/σ(α) то учитывая мультипликативность нормы имеем N(β)=N(α)/N(σ(α)). Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех σ_i(α), а предварительное применение σ приводит лишь к перестановке сомножителей, то в силу равенства числителя и знаменателя N(β)=1.

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

id+βσ+(βσ(β))σ²+...+(βσ(β)...σ^n-2(β))σ^n-1

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является тождественным нулём. Поэтому существует элемент γÎ E, для которого

α=γ+βσ(γ)+(βσ(β))σ²(γ)+...+(βσ(β)(γ)...σ^n-2(β))σ^n-1(γ)

Если применить отображение σ к α, а потом помножить полученное выражение на β, то первое слагаемое перейдёт во второе и т.д., а последнее перейдёт в первое, так как βσ(β)...σ^n-1(β)=N(β)=1, а σⁿ=id;

Тогда получаем, что βσ(α)=α, деля на σ(α)≠0 имеем β=α/σ(α). Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть G — группа Галуа конечного циклического расширения E/K c образующей σ. Тогда след любого элемента βÎ E равен 0 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент αÎ E, что β=α-σ(α).

Доказательство достаточости полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости берём элемент γÎ E, для которого Tr(γ)≠0 и строим требуемое α в виде:

α=(1/Tr(γ))[βσ(γ)+(β+σ(β))σ²(γ)+...+(β+σ(β)+...σ^n-2(β))σ^n-1(γ)]

Тогда получаем, что β=α-σ(α). Необходимость доказана.

Литература

• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также

• Гильберт, Давид
• Когомологии Галуа