- Многочлены Эрмита
-
Многочлены Эрмита — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита.
Содержание
Определение
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
- ;
в физике обычно используется другое определение:
- .
Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого
- .
Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):
- .
Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:
Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:
Свойства
Многочлен содержит члены только той же чётности, что и само число :
.
При верны такие соотношения:
.
Уравнение имеет действительных корней, что есть попарно симметричным относительно начала системы координат и модуль каждого из них не превосходит величины . Корни многочлена чередуются с корнями многочлена .
Многочлен можно представить в виде определителя матрицы :
Формула сложения
Имеет место следующая формула сложения многочленов Эрмита:
Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:
- , . Тогда
- .
- , , . Тогда
- .
Дифференцирование и рекуррентные соотношения
Производная -ого порядка от многочлена Эрмита , также есть многочлен Эрмита:
Отсюда получается соотношение для первой производной
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Ортогональность
Многочлен Эрмита создает полную ортогональную систему на интервале с весом :
- ,
где — дельта-символ Кронекера.
Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого справедлива запись
Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, ,которые называются отношениями Нильса Нильсона:
Например, более, чем очевидно, что разложение функции Куммера будет иметь такой вид:
где —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, — гамма-функция.
Разложение функций, в которых присутствует экспонента.
Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид
Дифференциальные уравнения
Многочлены Эрмита являются решениями линейного дифференциального уравнения:
Если является целым числом, то общее решение выше приведённого уравнения записывается как
,
где — произвольные постоянные, а функции называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций и .
Представления
Многочлены Эрмита предполагают такие представления:
где — контур, который охватывает начало координат.
Другое представление имеет вид:
.
Связь с другими специальными функциями
- Связь с функцией Куммера:
- Связь с многочленами Лагерра:
Применение
- В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравнения Шрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:
- .
- Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям . Нормированые на единицу, они записываются как
- .
- В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита .
- Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по :
- ,
- то функции , которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
- .
- Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
- В лазерной физике, а точнее - в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита-Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews
Ортогональные многочлены Многочлены Бернштейна — Сеге • Многочлены Бесселя • Многочлены Гегенбауера • Многочлены Гейне — Ахиезера • Многочлены Кравчука • Многочлены Лягерра • Многочлены Лежандра • Многочлены Полачека • Многочлены Чебышева • Многочлены Шарле • Многочлены Эрмита • Многочлены Якоби Категория:- Ортогональные многочлены
Wikimedia Foundation. 2010.