Квадратичный вычет

Квадратичный вычет по модулю $m$ — целое число $a$, для которого разрешимо сравнение

$x^2 \equiv a \pmod{m}.$

Если указанное сравнение не разрешимо, то число $a$ называется квадратичным невычетом по модулю $m$.

Свойства

• Критерий Эйлера: Пусть $p>2$ простое.Число a, взаимно простое с $p$, является квадратичным вычетом по модулю $p$ тогда и только тогда, когда

  $a^{(p-1)/2}\equiv 1\pmod{p}$

и является квадратичным невычетом по модулю p тогда и только тогда, когда

$a^{(p-1)/2}\equiv -1\pmod{p}.$

• Квадратичный закон взаимности
• Квадратичные вычеты, взаимно простые с модулем, образуют мультипликативную подгруппу кольца вычетов, в частности:
  • вычет $\times$ вычет = вычет;
  • невычет $\times$ вычет= невычет.

См. также

• Символ Лежандра