Проекция Меркатора

Карта мира Меркатора 1569 года

Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми равно расстоянию между меридианами вблизи экватора и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80-85° градусов северной и южной широты.

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Искажения площадей в проекции Меркатора

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2-3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. В реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Латинской Америки.

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (т.е. с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.

Математическое выражение проекции Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°.

Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки $\lambda$ (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах)

$x=c(\lambda-\lambda_0)$.

Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте $\theta$ равен просто $c/(R\cos\theta)$ (R — радиус Земли), то из условия $dy R\cos\theta/c= R d\theta$ мы получаем выражение для зависимости y от $\theta$

$\begin{matrix} y &=& c \ln\mathop{\rm tg}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\\ &=& c \,\mathop{\rm ath}\sin\theta \end{matrix}$.

Обратное преобразование

$\begin{matrix} \theta &=& 2\mathop{\rm arctg} \left( e^{y/c} \right) - \frac{1} {2} \pi \\ \\ \ &=& \mathop{\rm arctg} \left( \mathop{\rm sh} (y/c) \right) \\ \\ \lambda &=& x/c + \lambda_0. \end{matrix}$

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a — большая полуось, b — меньшая) в географических координатах

$dl^2=\frac{a^2 d\lambda^2}{1+\frac{a^2}{b^2}\mathop{\rm tg}^2\theta}+\frac{b^4}{a^2}\frac{d\theta^2}{(\cos^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\sin^2\theta)^3},$

перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем

$\begin{matrix} x &=& c(\lambda-\lambda_0)\\ y &=& c [\mathop{\rm ath}\sin\theta-\varepsilon\mathop{\rm ath}(\varepsilon\sin\theta)]. \end{matrix}$

Здесь $\varepsilon=\sqrt{a^2-b^2}/a$ — эксцентриситет земного эллипсоида. Обратное преобразование не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому $\epsilon$.

Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:

$\theta_{n+1} = f \left(\theta_{n},y\right)$, где $\theta_0$ можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида.

$\theta_{n+1} = arcsin\left(1-\frac{(1+\sin \theta_n)(1-\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}{e^\frac{2y}{c}(1+\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}\right)$

Ссылки

• Проекция Меркатора в учебнике по морской навигации